En didactique des mathématiques, les blocs logiques sont des formes géométriques en bois de différentes tailles, couleurs et épaisseurs. Ils sont destinés à mettre en pratique, de façon ludique, les différents concepts des mathématiques modernes dans l'enseignement primaire.
Nés dans les années 1960, dans la mouvance de l'école Montessori, leur mise en pratique pédagogique a été expérimentée et théorisée par le pédagogue Zoltan Dienes.
Histoire et motivations Dès les années 1950, un mouvement, né aux États-Unis, remet au goût du jour les méthodes d'apprentissage développées par Maria Montessori consistant à utiliser la manipulation dans l'apprentissage au niveau primaire.
C'est le mathématicien et psychologue Zoltan Dienes qui théorise et met en pratique l'usage des blocs logiques dans l’apprentissage des mathématiques. Il affirme s'être inspiré d'un matériel mis au point par William HullWilliam Hull est un pédagogue américain ayant travaillé à la Shady High School de Cambridge (Massachusetts), puis dans le Elementary Science Study of the Educational Services Incorporated du Watertown (Massachusetts). Il est un des premiers à montrer comment des enfants de jardins d'enfants développent des compétences élevées en logique en jouant avec du matériel impliquant 3 voire 4 diagrammes de Wenn. Cf : , p. 56.. L'importance de la notion de structure qui apparait dans les mathématiques utilisées depuis le début du siècle le pousse à trouver un biais pour familiariser les élèves à cet outil qui lui parait indispensable. Selon Dienes, la pratique de blocs logiques permet de s'entrainer aux concepts nécessaires à la compréhension de la notion d'invariance, la sériation et la classification. Il va donc utiliser une version améliorée de blocs créés par le pédagogue russe Lev Vygotski. Il s'agit de plaques en bois formées de triangles, rectangles, carrés et cercles, de couleur bleu, rouge ou jaune, de deux tailles (grandes ou petites) et de deux épaisseurs (fines ou épaisses) d'abord sous forme de jeu libre, ensuite sous forme de jeux obéissant à des règles logiques. En variant les situations, on peut faire découvrir aux enfants les invariants qui transcendent les contingences liées à une situation particulière. Le but est de leur faire prendre conscience des structures qui permettent de rendre toutes les situations rencontrées équivalentes.
Activités Jeux libres La première phase d'apprentissage consiste en un jeu libre. On présente aux enfants des blocs logiques et on les laisse les manipuler librement pour construire des objets ou les associer selon leur gré. On les invite à les nommer et les décrire. Quand les enfants ont suffisamment manipulé les pièces, on leur propose des jeux avec contrainte.
Tris et sélections On leur propose de trier les pièces selon leur forme, leur taille, leur couleur ou leur épaisseur. On les familiarise à des contraintes plus complexes, comme ranger toutes les pièces bleues et tous les triangles pour leur faire prendre conscience de l'existence d'une intersection. On varie les supports: diagramme de Venn à l'aide de deux cerceaux posés sur le sol, tableau à double entrée, arbre de tri.
+ Tri des blocs bleus ou triangulaires
L'objectif est de leur faire prendre conscience que les représentations sont équivalentes. il s'agit aussi de les familiariser avec les notions ensemblistes d'intersection, d'union, et de complémentaire et les notions logiques de conjonction, disjonction, négation et implication et leur faire percevoir que la négation d'une conjonction est une disjonction.
Création de séries Le but est de leur faire manipuler un ou plusieurs critères de tri en leur demandant de créer un train de blocs respectant des contraintes train dans lequel un bloc rouge est suivi d'un bloc bleu, lui même suivi d'un bloc jaune, lui-même suivi d'un bloc rouge et ainsi de suite; train où deux voisins diffèrent sur au moins 2 attributs; train où deux voisins ont un attribut commun; train où deux voisins ont deux attributs communs.
Concepts Réseaux logiques La manipulation des blocs logiques dans les exercices de tris (union, intersection, etc.) peut alors être schématisée par un chemin de tri. Sélectionner les cercles rouges, par exemple, consiste à faire passer les pièces à travers deux portes sélectionnant les rouges et les cercles dans le chemin suivant parcouru de droite à gauche :
et celui sélectionnant les rouges non circulaires est le suivant:
Les différents opérateurs logiques apparaissent alors naturellement
Sélectionner les blocs rouges ou ronds peut se faire par le schéma suivant:
et sélectionner les blocs respectant la consigne «Si le bloc est rond, il doit être rouge.» peut se faire par le chemin suivant.
On peut alors prendre conscience que pour sélection les triangles jaunes, il suffit d'utiliser le réseau triant les cercles rouges en renommant les portes. Chaque schéma représente donc un opérateur logique dont les variables sont les fonctions de tri associées à chaque porte. Les enfants sont alors conduits naturellement à travailler sur les opérateurs logiques et leurs propriétés à l'aide des chemins de tri constitués.
Correspondances L'objectif ici est de se libérer de la contingence des blocs logiques et de montrer qu'il existe d'autres systèmes sur lesquels on peut opérer dans des conditions équivalentes. Il suffit que les objets manipulés possèdent aussi 4 propriétés , une possédant 4 valeurs possibles, 1 possédant 3 valeurs possibles, et 2 possédant 2 valeurs possibles. Dienes suggère d'utiliser, par exemple, un système d'ensembles contenant de 0 à 3 pierres, de 0 à 2 crayons, 0 ou 1 allumette et 0 ou 1 bouchon. Il s'agit, dans un premier temps, de manipuler ces ensembles d'objets comme on a manipulé les blocs logiques dans des exercices de tri (trouver tous les ensembles possédant exactement un crayon, ranger de manière logique les ensembles possédant 1 crayon ou 1 allumette, etc.).
Dans un second temps, il s'agit de mettre en évidence qu'il y a correspondance entre l'ensemble des blocs logiques et cet ensemble d'ensembles d'objets, car les éléments de ces deux ensembles possède 4 propriétés possédant 4, 3, 2 et 2 valeurs possibles.
En leur donnant la règle du jeu : le nombre de pierres indique la forme de l'objet 0=cercle, 1 = carré, 2 = rectangle, 3 = triangle le nombre de crayons indique sa couleur : 0 = rouge, 1 = bleu, 2 = jaune le nombre d'allumette indique sa taille : 0 = petit, 1 = grand le nombre de bouchon indique son épaisseur : 0 = épais, 1= fin on leur demande d'établir des correspondances. Par exemple:
l'ensemble contenant 2 pierres et 1 bouchon (ppb) correspond alors au bloc logique rectangle, rouge, petit et fin l'ensemble 2 crayons, un allumette et un bouchon (ccab) correspond au cercle, jaune, grand et fin
En variant les supports de manipulation, on peut développer leur niveau d'abstraction.
Notions de structure En multipliant les supports, Dienes a aussi pour ambition de faire manipuler aux enfants des structures plus complexes comme des groupes de transformations Isométries du triangle équilatéral Dienes propose de mener en parallèle
un jeu de ballon avec 6 partenaires associés par paire (rouge, bleu, jaune) et rangés sur deux triangles selon le schéma ci-dessous. Les enfants peuvent envoyer le ballon à leur partenaire, ou bien à un enfant situé à droite ou gauche dans le même triangle. Un autre enfant indique l'action à entreprendre : garder le ballon, l'envoyer à droite (ou à gauche), le passer à son partenaire. Le jeu peut se compliquer en demandant de le lancer au voisin de droite de son partenaire. On peut faire remarquer que la fille rouge lançant le ballon à sa voisine de droite le lance à la fille en jaune, alors que le garçon rouge à qui on demande la même action l'envoie au garçon bleu. un jeu avec des triangles de blocs logiques (3 couleurs deux épaisseurs) construit pour former un hexagone et sans que deux voisins n'aient la même couleur ni la même épaisseur. Le ballon est remplacé par un caillou posé sur un des triangles.
L'objectif consiste à faire prendre conscience aux enfants qu'une action entreprise au jeu de ballon a son équivalent dans le jeu des blocs logiques : envoyer à son partenaire consiste à passer le caillou sur l'objet de la même couleur et d'épaisseur différente, envoyer à son voisin de droite consiste, pour un caillou sur une pièce fine, à parcourir le cycle de couleurs (RJBR) tandis qu'il parcourt le cycle (RBJR) s'il est sur une pièce grosse. Selon Vienes, l'enfant découvre ainsi en menant les deux jeux en parallèle, un isomorphisme de structure.
On peut aussi associer à chaque situation une position particulière d'une pièce triangulaire avec deux faces (recto-verso) et des sommets identifiés (voir figure), qui représente une des 6 images possibles d'un triangle ABC par une de ses isométries.
Le but est de montrer que les trois jeux, et plus particulièrement deux actions de ces trois jeux, peuvent se résumer par un même schéma logique lancer à son voisin de droite = suivre le cycle (RJBR) sur les triangles fins et (RBJR) sur les triangles gros = faire tourner la pièce triangulaire d'un tiers de tour dans les sens des aiguilles d'une montre = flèche simple (S) lancer à son partenaire = aller sur un triangle de même couleur mais d'épaisseur différente = retourner la pièce triangulaire selon son axe de symétrie vertical = flèche double (D)
Une succession d'actions dans ces trois situations peut donc se résumer par une succession de symboles. L'action D puis D revient à ne rien faire (on le notera X) DD=X L'action S puis S puis S revient à ne rien faire : SSS=X L'action S puis D puis S revient à D : SDS = D
L'idée est alors de s'abstraire des trois jeux et de chercher à prévoir le résultat d'actions plus complexes comme SDSSDSDD à l'aide des trois règles précédemment découvertes.
Groupes, corps et espace vectoriel Ces activités se fondent sur l'hypothèse que l'enfant, dans une situation concrète structurée selon le schéma d'une structure mathématique, développe le même type d'activité mentale qu'un adulte confronté à la structure abstraite. Elles seraient donc utiles pour préparer et aider l'enfant à appréhender le monde abstrait. Groupes L'idée est de considérer la couleur ou la forme d'une pièce comme un opérateur: Couleur appliquer un objet rouge (R) à un bloc ne change pas sa couleur lui appliquer un objet bleu (B) change sa couleur selon le cycle RBJR lui appliquer un objet jaune (J) change sa couleur selon le cycle RJBR Forme appliquer un objet circulaire (Ce) à un bloc ne change pas sa forme lui appliquer un objet triangulaire (Tr) change sa forme selon le cycle CeTrCaCe lui appliquer un objet carré (Ca) change sa forme selon le cycle CeCaTrCe
Une première étape consiste à manipuler les opérateurs (R) (B) et (J) en les appliquant à des blocs, puis de les combiner entre eux : si on applique l'opérateur (J) puis l'opérateur (J) quel sera l'effet sur le bloc initial ? Le but est de faire remarquer que cela revient à appliquer l'opérateur (B) que l'on résume en (J) + (J) = (B). On a donc défini une opération sur les opérateurs "couleur" dont on peut construire le tableau
+ Table d'addition + R B J R R B J B B J R J J R B
Cette addition munit l'ensemble des opérateurs "couleur" d'une structure de groupe isomorphe au groupe cyclique C3. Un même travail peut s'effectuer sur les opérateurs "forme".
On est alors à même de travailler sur un ensemble de 9 opérateurs agissant en même temps sur la forme et la couleur.