droite|vignette|300x300px| Représentation en couleur de la fonction trigamma, , dans une région carrée du plan complexe. Il est généré à l’aide de la méthode de coloration de domaine . En mathématiques, la fonction trigamma, notée ou , est la deuxième des fonctions polygamma ; elle est définie par

.

Il résulte de cette définition que

où est la fonction digamma. Elle peut également être définie comme somme de série :

ce qui en fait un cas particulier de fonction zêta de Hurwitz

Calcul Une représentation en intégrale double, comme alternative à celles données ci-dessus, peut être obtenue à partir de la représentation en série :

en utilisant la formule de la somme d'une série géométrique. L'intégration en donne :

Un développement asymptotique comme série de Laurent est :

si on a choisi , soit les nombres de Bernoulli de deuxième espèce.

Formules de récurrence et de réflexion La fonction trigamma vérifie la relation de récurrence

et la formule de réflexion

ce qui donne immédiatement la valeur en z = : .

Valeurs particulières On a l'expression pour des arguments demi-entiers positifs :

De plus, la fonction trigamma prend les valeurs particulières suivantes :

où est la constante de Catalan.

la fonction n'a pas de zéro sur l'axe réel , mais il existe une infinité de paires de zéros de partie réelle strictement négative . Les parties réelles s'approchent rapidement de et les parties imaginaires augmentent lentement en O(ln(n)). Par exemple, et sont les deux premiers zéros avec .

Relation avec la fonction de Clausen La valeur de la fonction digamma pour des arguments rationnels peut être exprimée en termes de fonctions trigonométriques et logarithmiques par le théorème digamma. Un résultat similaire est obtenu pour la fonction trigamma mais les fonctions circulaires sont remplacées par la fonction de Clausen. À savoir

Calcul et approximation Une méthode simple pour approximer la fonction trigamma consiste à prendre la dérivée du développement asymptotique de la fonction digamma.

Formule La fonction trigamma apparaît dans cette somme :

Voir également

Fonction gamma Fonction digamma Fonction polygamma Constante de Catalan

Références

Catégorie:Fonction gamma ou associée