En mathématiques, les différentielles de Kähler fournissent un analogue des formes différentielles aux anneaux et schémas commutatifs arbitraires. La notion a été introduite par Erich Kähler dans les années 1930. Elle fut ensuite adoptée en algèbre commutative et en géométrie algébrique, une fois qu'il fallut d'adapter les méthodes du calcul différentiel et de la géométrie complexe aux contextes où de telles méthodes n'existaient pas.

Définition Soient et des anneaux commutatifs et un morphisme d'anneau. Un cas fréquent est un corps et une algèbre sur (comme l'anneau de coordonnées d'une variété affine). Les différentielles de Kähler formalisent le fait que les dérivées de polynômes sont à nouveau des polynômiales. En ce sens, la différenciation est une notion qui peut s’exprimer en termes purement algébriques. On peut définir ces différentielles de manières différentes mais équivalentes.

À l'aide de dérivation Une dérivation -linéaire sur est un morphisme de -modules satisfaisant la règle de Leibniz (il résulte de cette définition que l'image de est dans le noyau de ). Le module des différentielles de Kähler de relativement à est le -module pour lequel il existe une dérivation universelle et satisfait la propriété universelle suivante : pour tout -module , on a un isomorphisme de -modules

On décrit et en prenant un -module libre généré par les symboles pour chaque dans , et en imposant les relations

, , ,

pour tout dans et tous et dans . La dérivation universelle envoie sur . Les relations impliquent que la dérivation universelle est un morphisme de -modules.

À l'aide de l’idéal d’augmentation On peut voir les différentielles de Kähler différemment. Soit l'idéal du produit tensoriel défini comme le noyau du morphisme

Alors le module des différentielles de Kähler peut être défini de manière équivalente par

et la dérivation universelle est le morphisme défini par

Cette construction est équivalente à la précédente car s'identifie au noyau de la projection

Ainsi :

Et peut être identifié à par l'application induite

Ceci identifie avec le -module généré par les générateurs formels pour dans , à condition que soit un morphisme de -modules qui est nul sur . Prendre le quotient par impose la règle de Leibniz.

Propriétés et exemples Pour tout anneau commutatif , le module des différentielles de Kähler de l'anneau polynomial est un -module libre de rang n généré par les différentielles des variables :

Les différentielles de Kähler sont compatibles avec l'extension des scalaires, dans le sens où pour une -algèbre et , il existe un isomorphisme

Par conséquent, les différentielles de Kähler sont compatibles avec la localisation : si est un ensemble multiplicatif de , alors il existe un isomorphisme

Étant donné deux homomorphismes d'anneaux , il existe une suite exacte courte de -modules

Si avec un idéal, le terme s'annule et la suite peut être prolongée à gauche comme suit :

Une généralisation de ces suites exactes est fournie par le complexe cotangent.

Cette dernière suite et le calcul ci-dessus dans le cas d'un anneau polynomial permettent le calcul des différentielles de Kähler des -algèbres de type fini . Par exemple, pour un polynôme en un variable,

Différentielles de Kähler de schémas Les différentielles de Kähler étant compatibles avec la localisation, elles peuvent être construites sur un schéma affine via l'une ou l'autre des deux définitions ci-dessus, et sur un schéma par recollement. Cependant, la deuxième définition a une interprétation géométrique plus claire. Dans cette interprétation, représente l'idéal définissant la diagonale dans le produit fibré de avec lui-même sur . De plus, elle s’étend à un morphisme général des schémas en définissant l'idéal diagonal dans le produit fibré . Le faisceau cotangent , muni de la dérivation défini de manière analogue, est vérifie la propriété universelle sur les -dérivations linéaires de -modules. Si est un ouvert affine de dont l'image dans est contenue dans un ouvert affine , alors le faisceau cotangent se restreint à un faisceau sur qui est également universel. Il s'agit donc du faisceau associé au module de différentiels de Kähler pour les anneaux sous-jacents à et .

Les suites exactes courtes se généralisent aux morphismes de schémas. Soient et deux morphismes de schémas, on a la suite exacte de faisceaux sur

Si est un sous-schéma fermé donné par le faisceau d'idéaux , alors et on a la suite exacte :

Le complexe de Rham – Witt est, en termes très grossiers, une amélioration du complexe de Rham pour l'anneau des vecteurs de Witt.

Bibliographie

(letter to Michael Atiyah, October 14, 1963)

Notes et références

Catégorie:Géométrie algébrique Catégorie:Algèbre commutative