Dans un espace affine euclidien , un champ de vecteurs est équiprojectif si :
où désigne le produit scalaire.
Il existe alors un endomorphisme antisymétrique tel que : .
Cette notion est utilisée en physique, voir Équiprojectivité en physique.
Démonstration de l'existence de l'endomorphisme Antisymétrie
Soit un point arbitraire de . Pour tout vecteur , il existe un unique point tel que et on définit par .
Montrons que, pour tous vecteurs et , on a :
ce qui prouve l'antisymétrie de .
On a en effet :
en utilisant l'équiprojectivité du champ
en utilisant de nouveau l'équiprojectivité.
Si on échange les rôles de et , on obtiendra :
On obtient bien :
Linéarité
On déduit de l'antisymétrie que est linéaire. En effet, pour tout , , , on a :
Cette égalité étant vraie pour tout , on en déduit que :
On procède de même pour montrer que :
Cas de la dimension 3, torseur
Dans une base orthonormée directe, , étant un endomorphisme antisymétrique, possède une matrice antisymétrique
Si on nomme le vecteur de composantes , alors la matrice précédente est celle de l'application .
On a donc et donc
est le champ des moments d'un torseur de résultante .
Exemple
L'exemple typique de champ équiprojectif en dimension 3 est le champ des vitesses d'un solide en mouvement. En effet, si et sont deux points du solide, et si on note la distance entre et , on a :
et en dérivant par rapport au temps :
où désigne la vitesse en un point.
Le champ des vitesses est donc un torseur. Le vecteur s'appelle vecteur instantané de rotation.
Notes et références
Voir aussi
Bibliographie
Articles connexes
Mécanique du solide Torseur Équiprojectivité en physique
Catégorie:Algèbre linéaire Catégorie:Mécanique du solide