Le potentiel de Riesz est en physique mathématique un potentiel découvert par le mathématicien hongrois Marcel Riesz. Le potentiel de Riesz peut être vu comme l'inverse de l'opérateur laplacien à une certaine puissance sur un espace euclidien. Les potentiels de Riesz généralisent l'intégrale de Riemann–Liouville au cas à plusieurs variables.
Définition Soit 0 < α < n, alors le potentiel de Riesz Iα f d'une fonction f localement intégrable sur Rn est la fonction définie par
où la constante cα est donnée par
Cette intégrale singulière est définie à condition que f décroisse suffisamment rapidement à l'infini. C'est le cas en particulier si f ∈ Lp ( Rn ) avec 1 ≤ p < n/α.
En fait, pour tout p ≥ 1, la décroissance de f et celle de Iαf sont liées, de par l'inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev.
où est la transformée de Riesz à valeur vectorielle.
Plus généralement, l' opérateur Iα est bien défini pour tout nombre complexe α tel que .
On peut généraliser le potentiel de Riesz pour les distributions en le définissant comme la convolution
où K α est la fonction localement intégrable :
Le potentiel de Riesz peut donc être défini pour toute distribution f à support compact. À cet égard, le potentiel de Riesz d'une mesure de Borel positive μ à support compact présente un intérêt en théorie du potentiel car Iα μ est alors une fonction sous-harmonique continue en dehors du support de μ, et est semi-continue inférieurement sur tout Rn.
L'étude de la transformée de Fourier révèle que le potentiel de Riesz est un multiplicateur de Fourier. En effet, on a
et donc, d'après le théorème de convolution,
Les potentiels de Riesz ont une propriété de demi-groupe par exemple sur les fonctions continues rapidement décroissantes, on a :
si on suppose que
De plus, si , alors
On a aussi, pour cette classe de fonctions,
Références
Articles connexes
Espace de Sobolev
Catégorie:Équation aux dérivées partielles Catégorie:Potentiel