En arithmétique et en algèbre, une puissance quatrième parfaite est l'élévation à la puissance quatre d'un entier. C'est donc le carré d'un carré parfait.
La suite des puissances parfaites, définie par , est désignée comme . Les 17 premiers termes en sont : 012345678910111213141516011681256625129624014096659110000146412073628561384165062565536
En tant que nombre figuré, une puissance quatrième parfaite, est un nombre 4-hypercubique.
Propriétés Chiffre des unités Le chiffre des unités d'une puissance quatrième parfaite (en système décimal) ne peut être que 0, 1, 5 ou 6.
Un entier naturel est congru modulo 10 à un entier , et est alors congru à modulo 10. Or les 10 première puissances quatrièmes indiquées ci-dessus : 0, 1, 16, 81, 256, 625, 1296, 2401, 4096, 6561 se terminent toutes par 0, 1, 5, ou 6, d'où le résultat.
Par ailleurs, hors le cas de 04, toutes les puissances quatrièmes parfaites dont le chiffre des unités est 0, se terminent par la séquence 0000.
Toutes les puissances quatrièmes parfaites dont le chiffre des unités est 5, se terminent par la séquence 0625.
Si le chiffre des unités est 0, c'est que et donc se termine par 0000.
Si le chiffre des unité est 5, , donc .
Or est toujours pair, donc est bien égal à 625 plus un multiple de 10000, ce que nous voulions prouver.
Décomposition d'un entier en somme de puissances quatrièmes
Le problème de Waring consiste à déterminer pour chaque exposant , le plus petit entier tel que tout entier positif ou nul puisse s'écrire comme la somme de puissances k-ièmes d'entiers positifs ou nuls. Ce majorant est noté .
Au moment de formuler son problème, Waring conjecture que , sans pouvoir prouver l'égalité. En 1859, il est démontré que en utilisant l'identité polynomiale de Liouville. Cet encadrement est descendu à , puis en 1986, Balasubramanian et al. démontrent que .
Tout entier naturel est donc la somme d'au plus 19 puissances quatrièmes. Par ailleurs il est prouvé en 1939 par Davenport que tout entier supérieur à 13792 est la somme d'au plus 16 puissances quatrièmes.
Décomposition d'une puissance quatrième en somme de puissances quatrièmes
Le dernier théorème de Fermat affirme qu'une puissance quatrième non nulle ne peut pas être la somme de deux autres puissances quatrièmes non nulles (c'est le cas n = 4).
Euler a conjecturé qu'une puissance quatrième non nulle ne peut pas s’écrire comme somme de trois puissances quatrièmes non nulles, mais 200 ans plus tard, en 1986, cette conjecture est réfutée par Elkies avec le contre-exemple :
.
Elkies a montré par ailleurs qu'il existe une infinité d'autres contre-exemples pour l'exposant 4 ; en voici quelques unsQuoted in :
(Allan MacLeod) (D.J. Bernstein) (D.J. Bernstein) (D.J. Bernstein) (D.J. Bernstein) (Roger Frye, 1988) (Allan MacLeod, 1998)
En analyse La somme des inverses des puissances quatrièmes non nulles, ainsi que la somme alternée se calculent : et .
On a aussi le produit infini : .
Références
Voir aussi
Articles connexes Carré parfait Cube parfait Puissance cinquième parfaite Puissance parfaite Nombre 4-polytopique
Liens externes
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