vignette|upright=1.5|alt=Représentation de 1899 de la Belle au bois dormant.|Représentation de 1899 de la Belle au bois dormant. Le problème de la Belle au bois dormant est un paradoxe probabiliste et philosophique polémique formalisé et énoncé en 2000 par Adam Elga. C'est-à-dire qu'il existe plusieurs interprétations et résultats différents qui coexistent. Cet article expose les différentes modélisations, arguments et solutions connues. Toutefois, il existe des contradictions entre les différents arguments, et aucun consensus n'a été trouvé pour le moment.
Le problème Voici l'énoncé du problème :
Précisions sur le problème La pièce utilisée est équilibrée, la probabilité d'obtenir pile est la même que celle d'obtenir face, c'est-à-dire 1/2. La Belle est parfaitement au courant des règles et des modalités de l'expérience.. On suppose également que la Belle est capable de raisonnement probabiliste.. Autrement dit, la réponse de la Belle ne dépend que de la logique et du calcul des probabilités. Le problème revient à savoir quelle est la probabilité d'obtenir pile du point de vue de la Belle. Après chaque prise du somnifère, la Belle est dans la même situation qu'au début de l'expérience effectuée le dimanche soir. À chaque réveil, la Belle ignore donc si on est lundi ou mardi et si pile ou face a été obtenu.
Variantes du problème Certains auteurs présentent le même problème avec de légères modifications ou même des versions qui changent l'expérience. Le but est de pouvoir comparer des situations et de pouvoir mieux comprendre les hypothèses et déductions du problème.
Même expérience mais changement de présentation sur la probabilité recherchée.. L'expérience est la même : pile ou face le dimanche. Dans le cas de face, un seul réveil le lundi ; dans le cas de pile, un réveil le lundi puis un réveil le mardi avec amnésie entre les deux. Il y a un entretien après chaque réveil. Le but est de savoir quelle est la réponse de la Belle à l'entretien du lundi.
Dans ce cas, on ne s'intéresse qu'à la réponse de la Belle sur l'entretien du lundi. Cependant la réponse donnée par la Belle est la même à chaque entretien, on peut se restreindre à un entretien en particulier.
Même problème mais sans mardi. Afin d'éliminer une partie du problème et de le simplifier, certains auteurs s'intéressent à une autre question sur le problème de la Belle au bois dormant initial : quelle serait la réponse de la Belle s'il n'y avait pas de mardi ? C'est-à-dire dans le cas où la Belle sait qu'elle n'est réveillée que le lundi. Une manière équivalente de considérer cette question est de réaliser l'expérience initiale du problème de la Belle au bois dormant et lorsque la Belle se réveille le lundi (dans le cas pile ou le cas face), on lui donne l'information du jour. Quelle est la probabilité que la pièce soit tombée sur pile et que la pièce soit tombée sur face ? Comme expliqué dans les sections suivantes, il n'y a pas consensus sur la réponse.
Analogie avec un problème d'urne. Il est courant en probabilité de représenter des situations plus compliquées par une modélisation plus abordable. Ici, certains auteurs proposent de faire une analogie avec un tirage de boules dans des urnes. Il existe plusieurs tentatives de modélisation selon les auteurs.
Historique L'origine de ce problème est incertaine.. Il est apparu dans la revue Games and Economic Behavior en 1997 par les auteurs Michele Piccione et Ariel Rubinstein. qui proposent deux raisonnements, mais ne précisent pas lequel est correct..
La formulation actuelle du problème a été donnée par Elga en 2000. en prenant le lecteur à la place de la Belle au bois dormant. Le nom, The Sleeping Beauty Problem, traduit par Belle au bois dormant, a été donné par Robert Stalnaker.
Depuis de nombreux auteurs philosophes et probabilistes se sont penchés sur le problème avec des arguments et des conclusions différentes. Donnons ici une liste sélectionnée : Lewis (2001), Vaidman and Saunders (2001), Arntzenus (2002), Dorr (2002), Monton (2002), Hitchcock (2004), Weintraub (2004), Meacham (2005), White (2006), Horgan (2004 et 2007), Groisman (2008), Karlander et Spectre (2010), et Hawley (2013).
La grande majorité des philosophes qui ont abordé le sujet (A. Elga, Lewis, L. Delabre, N. Bostrom ) estiment qu’il s’agit d’un problème d’auto-localisation. La Belle ne sait pas se repérer dans le temps (lundi ou mardi) dans le monde dans lequel elle se trouve à son réveil. Les notions d'auto-localisation, de monde centré, et de manque d'informations indexicales sont plusieurs manières de nommer le problème considéré d'après N. Bostrom.
Notons que Groisman annonce que les deux positions sont acceptables suivant le point de vue. De manière plus générale, certains auteurs, par exemple Delabre (2015), considèrent que le problème n'est pas suffisamment bien posé pour avoir une unique solution.
Ce problème ne fait toujours pas consensus.
Les différentes réponses Plusieurs résultats au problème ont été proposés par la communauté scientifique, mais ils se contredisent. Pour un problème bien posé, il n'y a bien sûr qu'une réponse valide. Ainsi certains chercheurs considèrent que le problème ainsi posé est insoluble ou autrement dit que les raisonnements proposés sont faux parce que le problème contient une contradiction ou une ambiguïté qu’ils ne prennent pas en compte. Présentons les principaux raisonnements.
Le tiérisme Il consiste à conclure que la Belle répondra 1/3. Plusieurs raisonnements ont été proposés.
Le recours au théorème de Bayes par Elga Le philosophe Adam Elga qui a rendu célèbre le problème a proposé le raisonnement suivant : Si elle sait qu’on est lundi, la Belle trouve que P(Lundi-face) = 1/2. Elle peut donc se servir du théorème de Bayes pour écrire : 1/2 = P(Lundi-Face) sachant lundi = P(Lundi-Face)/[ P(Lundi-Face)+ P(Lundi-pile)] d’où P(Lundi-Face)) = P(Lundi-pile). Or, P(Lundi-pile) = P(Mardi). Donc P(Lundi-Face) = P(Lundi-pile) = P(Mardi) = 1/3.
Ce raisonnement a été contesté par Lewis (voir plus bas)
Selon Laurent Delabre, le tiérisme n’explique pas pourquoi la Belle qui croyait, le dimanche soir, que la pièce avait 1 chance sur 2 de tomber sur face, a changé son opinion à son réveil.
Une autre façon d'utiliser le théorème de Bayes De façon intuitive, on peut raisonner ainsi : la Belle juge qu’il y a deux jours et deux côtés de pièce soit quatre combinaisons. Elle peut alors noter le cas favorable P(Lundi-face) = 1/4 et les cas possibles P(réveil) = 3/4. Et (1/4) / (3/4) = 1/3. L’emploi du théorème de Bayes complique un peu les calculs mais conduit au même résultat, ainsi que le montre Philippe Gay.
En termes mathématiques, cela s'écrit comme suit :
, et . permet d'obtenir et .
Mais poser que la probabilité d’un réveil est de 3/4 semble hardi, sachant que la Belle est toujours réveillée le lundi quel que soit le résultat du tirage au sort. Selon Delabre, le tiérisme bute sur cette difficulté : quelle information reçoit la Belle qui trouvait, le dimanche soir, que la pièce avait 1 chance sur 2 de tomber sur face ?
Multiplication des expériences ou fréquentisme Le raisonnement fréquentiste s'intéresse à l'observation des résultats et au décompte des réveils lorsque l'expérience est répétée un grand nombre de fois. La Belle connait le protocole qui prévoit deux fois plus de réveils lorsque la pièce est sur pile, elle imagine que l’expérience est répétée, et que son réveil est un réveil parmi des milliers. Elle en déduit donc qu’elle a deux fois plus de chances de vivre un réveil-pile, ce qui l'amène à répondre 1/3 à la question de l'entretien.
L'objection de John Leslie Selon Delabre, John Leslie oppose une objection au raisonnement fréquentiste. Certes, si on multiplie les lancers, la proportion de réveils provoqués par un résultat face est de 1/3. Mais si on ne lance la pièce qu’une seule fois, d’après l’énoncé, les chances d’un réveil unique, provoqué par face, sont de 1/2. La Belle, au demeurant, ne serait pas perturbée de répondre 2 fois « 1/2 » si la pièce tombe sur pile.
Les chaines de Markov
Une manière de modéliser mathématiquement cet argument, est de considérer une chaîne de Markov. C'est-à-dire, on se place dans la modélisation à trois états et on donne les probabilités de passer d'un état à un autre.. Le passage de l'état Pile-Lundi à l'état Pile-Mardi est obligatoire, la probabilité est 1. Après l'état Pile-Mardi, l'expérience est finie. Ainsi on passe à l'expérience de la semaine d'après avec un nouveau lancer de pile ou face. Le passage de l'état Pile-Mardi à Pile-Lundi arrive lors d'un résultat pile, donc probabilité 1/2. Le passage de l'état Pile-Mardi à Face-Lundi arrive lors d'un résultat face, donc probabilité 1/2. Après l'état Face-Lundi, l'expérience est finie. De même que précédemment, on passe à la semaine d'après et : Le passage de l'état Face-Lundi à Pile-Lundi arrive lors d'un résultat pile, donc probabilité 1/2. Le passage de l'état Face-Lundi à Face-Lundi arrive lors d'un résultat face, donc probabilité 1/2. La matrice de transition rassemble ces différentes probabilités et caractérise la chaîne de Markov. Cette matrice admet un vecteur stable, c'est-à-dire vérifiant l'équation . Ce vecteur est . Il représente les probabilités d'être dans chacun des trois états au bout d'un grand nombre de semaines. On retrouve donc l'équiprobabilité des trois états ce qui amène à la conclusion 1/3-2/3.
L’ajout d’un gain d’argent Certains auteurs ont imaginé éclairer le problème en proposant un gain financier à la Belle. On lui pose la question suivante à chacun de ses réveils : « De quel côté est tombée la pièce ? ». Et elle touche, par exemple, 10 euros par bonne réponse. Dès lors, si elle répond systématiquement face, elle a 1 chance sur 2 de gagner 10 euros, soit une espérance de gain de 5€. Mais si elle choisit de répondre systématiquement pile, comme on l’interroge deux fois, elle a deux fois 1 chance sur 2 de gagner 10 euros, soit une espérance de 1/2*10 + 1/2*10 = 10€. Son intérêt pour maximiser ses gains est donc de répondre pile à chaque fois. Ce qui fait varier l’espérance mathématique n’est ici pas la probabilité que la pièce tombe sur face, qui reste de 1/2, mais le fait qu’on la questionne deux fois en cas de pile : ceci est un cas d'effet loupe.
Explication par l’effet de loupe Une explication « intuitive » du résultat « 2/3-1/3 » serait : il y a deux fois plus d’entretiens quand la pièce est tombée sur pile donc, quand il y a un entretien, il y a deux fois plus de chances d'observer que la pièce soit tombée sur pile. Le fait d'observer plusieurs fois le même résultat pile, est précisément ce qu’on appelle effet de loupe en probabilité.
Explication du contraire par l'exemple d'un effet filtre Pour mieux comprendre l’effet de loupe, il est plus facile de saisir son opposé : l'effet filtre. Dans l'exemple du pêcheur sur un lac : sachant que la moitié des poissons d'un lac font moins de cinq centimètres, avec un filet à très petites mailles, il va capturer pour moitié des poissons de moins de cinq centimètres. Supposons maintenant que les mailles de son filet sont plus larges et qu’elles laissent passer la moitié des poissons de moins de 5 centimètres, cette moitié s’échappera du filet contre aucune fuite concernant les gros. En prenant un poisson au hasard dans le filet, on a donc 2 chances sur 3 que ce soit un gros puisqu'il y a 2/3 de gros parmi les poissons remontés.
Cependant, cet effet de filtre ne trompe le pêcheur que si celui-ci ignore que son filet laisse échapper les petites proies. S'il le sait, et dans quelles proportions, en voyant 2/3 de gros poissons dans son filet, il peut calculer facilement qu'il n'y en a que 50 % dans le lac. Or, d’après l’énoncé, la Belle sait qu'on lui pose deux fois la question après un seul résultat pile. Sa vision n'est donc pas vraiment faussée si elle tient compte de cet effet.
Autre exemple pour illustrer l'effet loupe