En arithmétique géométrique, un nombre 4-polytopique, ou nombre 4-hyperpolyédrique, ou encore nombre polychorique, est un nombre figuré comptant des points disposés régulièrement dans un 4-polytope, ou polychore.
Cas des 4-polytopes réguliers
Formules Si l'on note le nombre de points à l'étape où il y a points dans chaque arête extérieure du polytope, on a les formules : Nombre 4-polytopiqueLes dix premiers nombresRang OEISnombre pentachorique ou 4-hypertétraédrique1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 330, 495, 715Nombre octachorique ou 4-hypercubique1, 16, 81, 256, 625, 1296, 2401, 4096, 6561, 10000Nombre hexadécachorique ou 4-hyperoctaédrique1, 8, 33, 96, 225, 456, 833, 1408, 2241, 3400Nombre icositétrachorique ou hypergranatoédrique1, 24, 153, 544, 1425, 3096, 5929, 10368, 16929, 26200Nombre hecatonicosachorique ou hyperdodécaédrique1, 600, 4983, 19468, 53505, 119676, 233695, 414408, 683793, 1066960Nombre hexacosichorique ou hypericosaédrique1, 120, 947, 3652, 9985, 22276, 43435, 76952, 126897, 197920 Notons que est le nombre de sommets du polytope correspondant.
Principe d'obtention de ces formules On considère un 4-polytope régulier à S sommets, A arêtes, F faces et C cellules et on note les nombres respectifs d'arêtes, de faces et de cellules adjacentes à un sommet donné : Supposons que la figure de l'étape soit construite ; on obtient la figure de l'étape en ajoutant :
nouveaux points situés aux nouveaux sommets,
nouveaux points situés à l'intérieur des nouvelles arêtes, nouveaux points situés à l'intérieur des nouvelles faces k-gonales, étant le nombre k-gonal d'ordre . nouveaux points situés à l'intérieur des nouvelles cellules, étant le nombre polyédrique d'ordre associé aux cellules, auquel on retranche le nombre de points situés sur sa frontière.
Si l'on note le nombre de points à l'étape , on a donc .
Partant de , on obtient donc en écrivant .
Exemple pour le 4-hypercube Pour le 4-hypercube, , ; et ; enfin .
On obtient , ce qui donne bien .
Références
Voir aussi
Nombre polyédrique Nombre 4-polytopique centré Nombre polytopique
Polytopique Catégorie:Polytope