En arithmétique géométrique, un nombre 4-polytopique centré, ou nombre 4-hyperpolyédrique centré, ou encore nombre polychorique centré, est un nombre figuré comptant des points disposés dans un 4-polytope, ou polychore, par couches successives autour du centre.

Cas des 4-polytopes réguliers

Formules Si l'on note le nombre de points à l'étape , où il y a points dans chaque arête extérieure du polytope, on a les formules : Nombre 4-polytopiqueRang OEISNombre pentachorique centré ou 4-hypertétraédrique centré1, 6, 21, 56, 126, 251, 456, 771, 1231, 1876Nombre octachorique centré ou 4-hypercubique centré1, 17, 97, 337, 881, 1921, 3697, 6497, 10657, 16561Nombre hexadécachorique centré ou 4-hyperoctaédrique centré1, 9, 41, 129, 321, 681, 1289, 2241, 3649, 5641Nombre icositétrachorique centré ou polyoctaédrique centré1, 25, 169, 625, 1681, 3721, 7225, 12769, 21025, 32761Nombre hecatonicosachorique ou hyperdodécaédrique centré1, 601, 5041, 19801, 54601, 122401, 239401, 425041, 702001, 1096201Nombre hexacosichorique ou hypericosaédrique centré1, 121, 961, 3721, 10201, 22801, 44521, 78961, 130321, 203401 Notons que est le nombre de sommets du polytope correspondant, plus une unité.

Principe d'obtention de ces formules On considère un 4-polytope régulier à sommets, arêtes, faces et cellules : Supposons que la figure de l'étape soit construite ; on obtient la figure de l'étape en ajoutant :

nouveaux points situés aux nouveaux sommets,

nouveaux points situés à l'intérieur des nouvelles arêtes, nouveaux points situés à l'intérieur des nouvelles faces k-gonales, étant le nombre k-gonal d'ordre , nouveaux points situés à l'intérieur des nouvelles cellules, étant le nombre polyédrique d'ordre associé au cellules, auquel on retranche le nombre de points situés sur sa frontière.

Si l'on note le nombre de points à l'étape , on a donc .

Partant de , on obtient donc en écrivant .

Exemple pour le 4-hypercube Pour le 4-hypercube, ; et ; enfin .

On obtient , ce qui donne bien .

Références

Voir aussi

Nombre polyédrique centré Nombre 4-polytopique

Catégorie:Nombre figuré