vignette|John Landen (-) Les transformations de Landen transforment une intégrale elliptique (ou une fonction elliptique jacobienne) en une autre intégrale elliptique (ou une autre fonction elliptique jacobienne) de même forme, mais avec des variables différentes. Les transformations croissantes augmentent le module des fonctions elliptiques tandis que les transformations décroissantes le diminuent. Elles permettent d'effectuer plus rapidement les calculs numériques des fonctions elliptiques.
Historique Cette transformation est l'œuvre initiale du mathématicien anglais John Landen (1719-1790) qui proposa en 1775 un changement de variable très réussi pour les intégrales et fonctions elliptiquesAn investigation of a general theorem for finding the length of any arc of any conic hyperbola, by means of two elliptic arcs with some other new and useful theorems deduced therefrom .
Il a pu montrer que la longueur d'un arc d'hyperbole pouvait être exprimée par les longueurs des arcs de deux ellipses différentes. Chacune d’elles présente une excentricité qui peut être identifiée au module elliptique. La relation particulière entre les excentricités des deux ellipses que Landen découvrit plus tard porte son nom.
Cette transformation a été redécouverte indépendamment par Carl Friedrich Gauss. La forme actuelle de la transformation de Landen a été développée par Joseph-Louis Lagrange, Adrien-Marie Legendre et Gauss. En utilisant la transformation de Landen, Gauss a calculé la longueur de la lemniscate. En particulier, les travaux de Legendre ont joué un rôle majeur pour Niels Henrik Abel et Charles Gustave Jacob Jacobi dans leur développement des fonctions elliptiques.
Landen a découvert une nouvelle façon de calculer, et pas seulement les fonctions elliptiques. Son idée principale, selon laquelle la fonction calculée peut être représentée par une fonction de la même forme mais avec d'autres paramètres qui tendent vers certaines limites lors de la récursion, a ensuite été largement utilisée en mathématiques computationnelles. Cette transformation modulaire joue un rôle important dans les mathématiques modernesH. McKean and V. Moll, Elliptic Curves: Function Theory, Geometry, Arithmetic; Cambridge University Press, Cambridge (1997). ..
Changement de variable et nouveau module Au sens large, la transformation de Landen désigne une transformation reposant sur le principe selon lequel la fonction calculée peut être représentée par une fonction de la même forme mais avec d'autres paramètres qui tendent vers certaines limites lors de la récursion ; tandis que la transformation de Landen à proprement parler désigne la transformation qui utilise le changement de variable que Landen a proposé.
On pose : . Les transformations changent le module en un autre module ou en changeant la variable d'intégration en une nouvelle variable ou définie ainsi : pour la transformation de Landen :
pour la transformation gaussienne :
Ainsi, pour la transformation de Landen comme pour la transformation gaussienne, on a les relations suivantes :
Une transformation qui change en est une transformation croissante et une transformation qui change en est une transformation décroissante parce que :
On peut aussi exprimer ainsi la relation de récurrence :
Transformations de Landen des intégrales elliptiques de première espèce Transformation de Landen Démonstration On commence par vérifier la réciprocité de :
On a :
En multipliant cette dernière égalité par , on a bien : . Ce changement de variable permet que l'angle transformé devienne plus petit que l'angle d'origine : .
Les grandeurs apparaissant dans l'intégrale elliptique de première espèce sont :
Ainsi :
Amplitude On calcule l'amplitude (on pose : ) :
On calcule l'amplitude . Puisque , on a :
Si on utilise la notation de l'intégrale elliptique avec un point-virgule, on est obligé de décomposer l'intégrale en tronçons ne dépassant pas puisque cette notation ne permet que d'exprimer des intégrales elliptiques dont l'amplitude ne dépasse pas : si , .
Autre formulation Si , , et sont tels que et , alors la transformation de Landen stipule que :
La transformation de Landen peut donc être exprimée soit en fonction de son module elliptique , soit en fonction de son comodule .
En effet : En réécrivant :
et en divisant par , on a :
ce qui donne :
De plus, on a :
Transformation gaussienne Démonstration On commence par vérifier la réciprocité de :
On a bien :
Les grandeurs apparaissant dans l'intégrale elliptique de première espèce sont :
On a alors :
Amplitude On calcule l'amplitude (on pose : ) :
L'amplitude vaut :
Transformation AGM quartique
En plus des changements de variable landenien et gaussien, il en existe d'autres, par exemple celui-ci :
Itération
En répétant plusieurs fois de suite la transformation de Landen ou gaussienne, on aura si on utilise la transformation croissante, et si on utilise la transformation décroissante. évolue ainsi : et . Lorsque le module est égal à 0 ou 1, l'intégrale elliptique peut être calculée analytiquementM. Abramowitz and I. A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Dover Publications, New York (1964). . :
Si l'on part d'un module et d'une amplitude arbitraires, une intégrale elliptique générale de première espèce peut être calculée numériquement ainsi : Pour la transformation de Landen :
Pour la transformation gaussienne :
où , , et sont les valeurs asymptotiques de l'amplitude transformée. On remarquera que double à chaque itération lorsque page 68.
Les convergences de et sont quadratiques : et doublent à peu près à chaque itération, ce qui signifie que peu d'itérations suffisent : , , et .
L'intégrale elliptique complète de première espèce estG.N. Watson, The Marquis and the Land-Agent; A Tale of the Eighteenth Century, Mathematical Gazette 17, 5-17 (1934). Foredrag for the British Mathematical Association, 1933. Gjengitt i J.J. Berggren, J. Borwein and P. Borwein, Pi: A Source Book, Springer-Verlag, New York (2004). . :
Transformation de Landen du nom elliptique On aElliptic Functions: Landen's Transformation :
Transformations de Landen des intégrales elliptiques de deuxième espèce
Transformation de Landen Démonstration On pose (avec )page 74 : et
Le module devient , si bien que . On a . et sont respectivement la moyenne arithmétique et géométrique de et . Si la transformation est itérée plusieurs fois, alors les paramètres et convergent très rapidement vers une valeur commune, même s’ils sont initialement d’ordres de grandeur différents. La valeur limite est appelée moyenne arithmético-géométrique de et et notée ou . On a alors . On a :
et :
En intégrant, on obtient :
On fera attention comme précédemment si on utilise les notations avec un point-virgule.
Itération
L'intégrale elliptique complète de deuxième espèce estpage 80 :
Moyenne arithmético-géométrique On remarque une formule de Gauss :
Donc, on a :
En opérant et , on a :
Transformation de Gauss
On a aussi une transformation de Gauss des intégrales elliptiques de deuxième espèceTransformations de Landen et de Gauss des intégrales elliptiques des trois espèces .
ce qui donne :
Transformations de Landen des intégrales elliptiques de troisième espèce On a aussi une transformation de Landen et de Gauss des intégrales elliptiques de troisième espèce.
Transformation de Landen
Transformation de Gauss
Transformation de Landen des fonctions elliptiques jacobiennes Le module elliptique initial est . La transformée de Landen croissante augmente le paramètre et la transformée de Landen décroissante diminue le paramètre. En répétant la transformation de Landen croissante, le paramètre converge vers 1 et la fonction elliptique se rapproche d'une fonction hyperbolique. En répétant la transformation de Landen décroissante, le paramètre converge vers 0 et la fonction elliptique se rapproche d'une fonction trigonométrique. Cette propriété rend la transformée de Landen utile pour les calculs numériques de fonctions elliptiques. On utilise ici la transformation de Landen pour la transformation croissante des fonctions elliptiques jacobiennes et la transformation de Gauss pour leur transformation décroissante.
Démonstration de la transformation croissante
Démonstration de la transformation décroissante En opérant les transformations et au sein de , on a :
Conversion de nombres imaginaires La transformation de Landen croissante et la transformation de Landen décroissante sont alternées par la transformation imaginaire.
page 29
En utilisant la transformation de Landen croissante, on a :
En utilisant la transformation imaginaire, on a :
En opérant et , on a :
Il s'agit d'une transformation de Landen décroissante.
Transformations de degré supérieur
Les transformations de modules suivantes peuvent être effectuées à l'aide des Amplitudinis Sine et des Amplitudinis Delta :
Ici, la fonction sinus de Jacobi est solution de l'équation .
Globalement, la formule suivante s'applique à toutes les valeurs et Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity, frères Borwein :
Deux exemples de la transformation du troisième degré susmentionnée sont présentés ci-dessous : {| class="wikitable"
{| class="wikitable"
En les comparant selon un motif en forme de X, des modules elliptiques complémentaires de Pythagore deviennent visibles des deux côtés de l'échelle de l'équation : {| class="wikitable"
Les modules de même couleur sont complémentaires les uns des autres en termes pythagoriciens.
Récapitulatif
Modules parent et enfant +Modules parent et enfant
Intégrales elliptiques de première espèce +Transformations de Landen des intégrales elliptiques incomplètes de première espèceTransformation croissanteTransformation décroissanteLandenGauss
+Transformations de Landen des intégrales elliptiques complètes de première espèceTransformation croissanteTransformation décroissanteLandenGauss
+Représentation par produit infiniTransformation décroissanteGauss
+Quotient
Intégrales elliptiques de deuxième espèce +Transformations de Landen des intégrales elliptiques incomplètes de deuxième espèceTransformation décroissanteLanden
+Transformations de Landen des intégrales elliptiques complètes de deuxième espèceTransformation décroissanteLanden
Fonctions elliptiques jacobiennes de base +Transformations de Landen d'une fonction elliptiqueTransformation croissante (Landen)Transformation décroissante (Gauss)
Références
A : Elliptic Integrals - Harris Hancock, John Wiley & Sons, New York (1917)
Autres références :
Liens externes Ouvrages consultables en ligne : soit soit
Autres liens :
Elliptique Catégorie:Fonction elliptique Catégorie:Fonction spéciale