En géométrie, les coniques de Mandart sont des coniques du triangle, nommées d'après H. Mandart, qui les a étudiées dans deux articles publiés à la fin du ....
Ellipse de Mandart
Lellipse inscrite de Mandart d'un triangle est l'ellipse située à l'intérieur du triangle, tangente aux points de contact des cercles exinscrits avec les côtés. C'est donc également l'ellipse circonscrite de Steiner du triangle de Nagel du triangle de référence..
Propriétés Le centre de l'ellipse de Mandart est le mittenpunkt du triangle. Son point de Brianchon (le point d'intersection des droites reliant les sommets du triangle aux points de tangence) est donc le point de Nagel du triangle.
Ses axes sont les droites parallèles aux asymptotes de l'hyperbole de Feuerbach passant par le mittenpunkt.
Comme conique inscrite, l'ellipse de Mandart est décrite par les paramètres en coordonnées homogènes
pour un triangle de côtés a, b, c.
Cercle de Mandart Le cercle de Mandart est le cercle circonscrit au triangle de Nagel. Le cercle et l'ellipse de Mandart se croisent donc aux trois sommets de ce triangle, mais aussi au point de Feuerbach du triangle.
C'est donc le cercle de Joachimsthal du point de Bevan par rapport à l'ellipse de Mandart.
Son centre est le point de nombre de Kimberling X et son rayon est égal à :
où est le rayon du cercle circonscrit au triangle de référence et son demi-périmètre.
Triangles de Mandart On considère un triangle ABC et son triangle médian ABC. Pour un réel t, on place sur la médiatrice de [BC] le point A tel que et tel que si , le point est dans le demi-plan ne contenant pas A ; on définit de façon similaire les points B et C. Alors le triangle ABC est appelé triangle de t-Mandart.
Le locus des centres des cercles circonscrits des triangles de t-Mandart est une hyperbole équilatère.
Les faisceaux de droites (AB), (BC), (CA), ont pour enveloppe trois paraboles aux propriétés multiples : leurs axes de symétrie se croisent au centre du cercle circonscrit de ABC leurs foyers sont sur le cercle ayant pour diamètre le segment joignant les centres des cercles circonscrit et inscrit de ABC ; leurs directrices se croisent au centre du cercle de Spieker de ABC.
Hyperbole de Mandart
Pour tout t, le triangle de t-Mandart est orthologique au triangle de Nagel. Le locus des points de concurrence est une hyperbole équilatère, circonscrite au triangle de Nagel. Gibert est le premier à la nommer hyperbole de Mandart.
Ses asymptotes sont parallèles à celles de l'hyperbole de Feuerbach.
Parabole de Mandart Pour tout t, le triangle de t-Mandart et le triangle médian sont en homologie. On appelle parabole de Mandart l'enveloppe des axes de ces homologies quand t varie.
Le foyer de cette parabole est le centre de nombre de Kimberling X et son axe est la droite passant par le centre du cercle circonscrit et le centre de Spieker du triangle de référence.
Voir aussi Ellipse de Steiner Éléments remarquables d'un triangle
Notes
Liens externes
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