La moyenne identrique de deux nombres réels strictement positifs est définie parLe mot "identrique" semble être un mot-valise formé à partir des mots "identique" et "géométrique". L'appellation viendrait de et :
Elle peut être obtenue à partir du théorème des accroissements finis en considérant une sécante à la courbe de la fonction . La moyenne identrique est un cas particulier de moyenne de Stolarsky, qui l'a lui-même définie, et, en tant que telle, peut être généralisée à un nombre quelconque de variables par le théorème des accroissements finis pour les différences divisées.
Motivation
Heuristiquement, la limite de la moyenne arithmétique des valeurs d'une fonction sur un intervalle est la valeur moyenne de cette fonction sur .
Plus précisément, d'après le théorème des sommes de Riemann, pour continue sur un intervalle , on considère points équirépartis . Alors : .
En revanche, la limite de la moyenne géométrique des valeurs d'une fonction continue positive sur un intervalle est moins évidente : en posant
on a : . On en déduit :
Or :
On en déduit ainsi que la limite de la moyenne géométrique des valeurs contenues dans un intervalle est la moyenne identrique de et :
Inégalités Comparaison avec d'autres moyennes Pour deux nombres strictement positifs distincts , on a les inégalités:
où : H désigne la moyenne harmonique ; G désigne la moyenne géométrique ; L désigne la moyenne logarithmique ; P désigne la deuxième moyenne de Seiffert ; A désigne la moyenne arithmétique. De même, si M désigne la moyenne d'ordre p, alors:
Bornes La moyenne identrique est bornée par des valeurs faisant appel à la fonction Gamma et , constante d'Euler-Mascheroni:
Voir aussi
Moyenne Moyenne logarithmique
Références
Liens externes
Catégorie:Moyenne