En mathématiques, l'inégalité de Hadwiger-Finsler est un résultat de géométrie du triangle. Elle stipule que pour un triangle de longueurs de côté et d'aire , alors
Inégalités associées
L'inégalité de Weitzenböck est un corollaire simple de l'inégalité de Hadwiger – Finsler ; avec les mêmes notations, elle s'écrit :
L'inégalité de Hadwiger-Finsler est en fait équivalente à l'inégalité de Weitzenböck. Appliquer (W) au triangle formé des milieux des trois arcs découpés sur le cercle circonscrit par les sommets donne (HF) .
L'inégalité de Weitzenböck peut aussi être prouvée directement à l'aide de la formule de Héron.
Il existe une version pour le quadrilatère : pour un quadrilatère convexe de côtés de longueurs et d'aire on a Leonard Mihai Giugiuc, Dao Thanh Oai and Kadir Altintas, An inequality related to the lengths and area of a convex quadrilateral, International Journal of Geometry, Vol. 7 (2018), No. 1, pp. 81 - 86.:
où, avec égalité pour le carré.
Démonstration La formule d'Alkashi :peut se transformer en :Comme , on a :En ajoutant les égalités similaires obtenues pour les 3 côtés du triangle, on obtient :Or, puisque les demi-angles du triangle sont inférieurs à π/2 et que la fonction tan est convexe, on a :Ce qui donne l'inégalité de Hadwiger-Finsler:
Historique L'inégalité de Hadwiger-Finsler a été publiée en 1937 par les mathématiciens suisses Paul Finsler et Hugo Hadwiger.
Voir aussi
Liste d'inégalités dans le triangle Inégalité isopérimétrique
Références
Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More: Visualizing Basic Inequalities. MAA, 2009, , pp. 84-86
Hadwiger Catégorie:Géométrie du triangle