droite|vignette|450x450px|H est l'orthopôle de la droite ℓ par rapport au triangle ABC. En géométrie, lorthopôle d'une droite ℓ par rapport à un triangle ABC et dans le même plan est un point déterminé comme suit: Soient les projections orthogonales sur ℓ des points respectivement. Soient les projections orthogonales de sur les côtés opposés (étendus) à (respectivement). Alors les trois droites sont concourantes . Le point de concours est l'orthopôle, nom donné par Joseph Neuberg.
En raison de leurs nombreuses propriétés, les orthopôles ont fait l'objet d'une abondante littérature. Certains sujets clés sont la détermination des droites ayant un orthopôle donné et les cercles orthopolaires.
Propriétés
L'orthopôle d'une droite ℓ est sur la droite de Simson orthogonale à ℓ L'orthopôle d'une droite ℓ a même puissance par rapport à tous les cercles podaires des points de ℓ Les droites de Simson des deux extrémités d'une corde ℓ du cercle circonscrit se croisent à l'orthopôle de ℓ.. L'orthopôle d'une droite ℓ qui passe par le centre du cercle circonscrit du triangle ABC se trouve sur le cercle d'Euler du triangle. Dans le cas où la droite est tangente en un point M du cercle circonscrit, l'orthopôle est le point caractéristique de la droite de Simson de M (le point où elle touche son enveloppe, la deltoïde de Steiner)
Cas particuliers Pour un triangle donné, l'orthopôle de chacun des trois côtés est l'orthocentre du triangle. L'orthopôle d'une droite perpendiculaire à un côté du triangle est le pied de cette perpendiculaire. Pour un faisceau de droites passant par un point P fixe: si P est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC, les orthopôles du faisceau forment le cercle d'Euler du triangle si P est sur le cercle circonscrit au triangle ABC, les orthopôles du faisceau forment la droite de Simson de P dans le cas général, les orthopôles du faisceau forment une conique dont le centre est le point milieu entre P et l'orthocentre du triangle
Voir aussi Droite de Steiner
Références
Liens externes
Catégorie:Géométrie du triangle