La fonction q-gamma est une fonction mathématique qui est une généralisation q-analogue de la fonction gamma ordinaire.
Elle est définie par : pour , etpour .
Ici est le q-symbole de Pochhammer infini. La fonction q-gamma est solution de l'équation fonctionnelle suivante :De plus, la fonction q-gamma vérifie le q-analogue du théorème de Bohr-Mollerup. Pour tout entier n positif ou nul,où est la fonction q-factorielle. Ainsi, la fonction q-gamma peut être considérée comme prolongeant la q-factorielle aux nombres réels, de la même manière que la fonction gamma prolonge la factorielle. La fonction gamma apparaît également comme la limite :
Propriétés La fonction q-gamma vérifie la q-analogue de la formule de multiplication de Gauss :
Représentation intégrale La fonction q-gamma peut s'écrire sous forme intégrale
Formule de Stirling
On a aussi un q-analoque de la formule de Stirling où , désigne la fonction échelon d'Heaviside, est le nombre de Bernoulli, est le dilogarithme, et est un polynôme de degré vérifiant
Formule de Raabe On a également les q-analogues de la formule de Raabe, pour les valeurs de .
On a également pour :
Valeurs particulières On connaît les valeurs suivantes de la fonction q-gamma:
Ce sont les analogues de l'identité classique .
De même, on a les analogues suivants de l'identité :
Version matricielle Soit A une matrice carrée complexe définie positive. On peut définir une fonction q-gamma matricielle par q-intégrale :
où est la fonction q-exponentielle.
Références
Catégorie:Fonction gamma ou associée