En théorie des nombres, la valuation ou l'ordre d'un entier non nul est l'exposant de la puissance la plus élevée du nombre premier qui divise : cet exposant est noté . De manière équivalente, est l'exposant auquel apparaît dans la décomposition en facteurs premiers de . On prolonge cette notation aux rationnels non nuls en posant .

La valuation -adique est une valuation, analogue de la valeur absolue habituelle. Alors que l'extension des nombres rationnels par rapport à la valeur absolue aboutit aux nombres réels , leur extension par rapport à la valuation -adique aboutit au corps des nombres s . droite|vignette|200x200px| Distribution des entiers naturels par leur valuation 2-adique, étiquetés avec les puissances correspondantes de deux. Zéro a une valuation infinie.

Définition et propriétés Soit un nombre premier.

Entiers La valuation (des entiers) est définie comme étant l'application

désignant l'ensemble des entiers naturels et signifiant m divise n .

Par exemple, pour , dont la valeur absolue est égale à, on a , , et .

La notation est parfois utilisée pour signifier que .

Si est un entier positif, alors

car par définition : .

Nombres rationnels La valuation -adique peut être étendue aux nombres rationnelsavec une relation d'ordre usuelle par :

.

Par exemple, et , car .

On a en particulier:

De plus, si , alors

Valeur absolue -adique La valeur absolue -adique sur est la fonction définie par

Par exemple, et

La valeur absolue -adique est : non-négative définie positivemultiplicative ultramétrique Comme elle est multiplicative ( ) on a et donc on a aussi L'inégalité triangulaire (sous-additivité) découle de l'inégalité ultramétrique .

Le choix de la base dans l'exponentiation n'affecte pas la plupart des propriétés, et permet d'avoir la formule du produit :

où le produit prend en compte tous les nombres premiers et la valeur absolue habituelle, notée . Cela découle simplement de la décomposition en facteurs premiers.

peut être muni d'une structure d'espace métrique par la distance (ultramétrique et invariante par translation)

La complétion de pour cette distance conduit au corps des nombres -adiques.

Références

Liens internes

Nombres -adiques Valuation Théorème d'Ostrowski Formule de Legendre (donnant la valuation p-adique d'une factorielle) Distance ultramétrique

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