En mathématiques, un anneau commutatif caténaire est un anneau qui intervient en géométrie algébrique. Définition Un anneau commutatif est dit caténaire si, pour toute paire d'idéaux premiers et , deux chaînes strictement croissantes
d'idéaux premiers de longueur maximales de à ont même longueur . En géométrie algébrique, la dimension d'une variété algébrique attachée à un idéal premier diminue à mesure que l'idéal premier grandit et la longueur d'une telle chaîne est généralement la différence de dimensions.
Un anneau est appelé universellement caténaire si toutes les algèbres de type fini sur de cet anneau sont des anneaux caténaires.
On a la chaîne d'inclusions suivante :
Anneau universellement caténaire anneau de Cohen-Macaulay anneau de Gorenstein anneau d'intersection complète anneau local régulier.
Exemples Presque tous les anneaux noethériens qui apparaissent en géométrie algébrique sont universellement caténaires. En particulier les anneaux suivants sont universellement caténaires :
Anneaux locaux noethériens complets ; Anneaux locaux de Dedekind ; Anneaux de Cohen–Macaulay (et anneaux locaux réguliers) ; Une localisation d'un anneau universellement caténaire ; Une algèbre de type finie sur un anneau universellement caténaire.
Il est difficile de construire des exemples d'anneaux noethériens qui ne sont pas universellement caténaires. Le premier exemple a été donné par Masayoshi Nagata ( ; c'est un anneau local noethérien de dimension 2 qui est caténaire mais pas universellement caténaire. L'exemple est le suivant :
Formule de dimension Soit soit un anneau noethérien intègre et soit un anneau contenant qui est finiment engendré sur . Soit est un idéal premier de et soit son intersection avec ; alors on a :
La formule de dimension des anneaux universellement caténaires dit qu'il y a égalité quand est universellement caténaire. Ici est le corps résiduel de et dénote le degré de transcendance (des corps quotients). L’égalité reste également vraie le cas particulier où n’est pas universellement caténaire, et ..
Il est difficile de construire des exemples d'anneaux noethériens qui ne sont pas universellement caténaires. Le premier exemple a été donné par Masayoshi Nagata. ; c'est un anneau local noethérien de dimension 2 qui est caténaire mais pas universellement caténaire.
L'exemple donné par Nagata est également un anneau quasi-excellent, et fournit donc un exemple d'anneau quasi-excellent qui n'est pas un anneau excellent .
Voir aussi
Anneau formellement caténaire (qui est le même qu'un anneau universellement caténaire).
Références
Bibliographie
; réimprimé par R. E. Krieger Pub. Co (1975)
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Théorie des anneaux Anneau local Anneau commutatif Anneau de Cohen-Macaulay Anneaux locaux de Gorenstein
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