En algèbre commutative, la fonction de Hilbert-Samuel (du nom de David Hilbert et Pierre SamuelH. Hironaka, Resolution of Singularities of an Algebraic Variety Over a Field of Characteristic Zero: I. Ann. of Math. 2nd Ser., Vol. 79, No. 1. (Jan., 1964), pp. 109-203.), d'un module de type fini non nul sur un anneau local noethérien commutatif et un idéal primaire de est la fonction définie pour tous par :

où désigne la longueur sur . Elle est liée à la fonction de Hilbert du module gradué associé par l'identité :

Pour assez grand, elle coïncide avec une fonction polynomiale de degré égale à , souvent appelé polynôme de Hilbert-Samuel (ou polynôme de HilbertAtiyah, M. F. and MacDonald, I. G. Introduction to Commutative Algebra. Reading, MA: Addison–Wesley, 1969.).

Exemples Pour l'anneau de séries formelles de puissances à deux variables vu comme un module sur lui-même et l'idéal engendré par les monômes et , on a :

Limite de degré Contrairement à la fonction de Hilbert, la fonction de Hilbert – Samuel n'est pas additive sur une suite exacte. Cependant, il est près de l'être en conséquence du lemme d'Artin – Rees. On note le polynôme de Hilbert-Samuel, qui coïncide avec la fonction de Hilbert-Samuel pour les grands entiers.

Preuve : En tensorisant la suite exacte donnée avec et en calculant le noyau, on obtient la suite exacte :

ce qui donne :

.

Le troisième terme à droite peut être estimé par Artin-Rees. En effet, d'après le lemme, pour n assez grand et un certain k,

Ainsi,

.

Cela donne la limite de degré souhaitée.

Multiplicité Si est un anneau local de dimension de Krull , et un idéal -primaire, le coefficient dominant de son polynôme de Hilbert est de la forme pour un entier . Cet entier est par définition la multiplicité de l'idéal . Quand est l'idéal maximal de , on dit aussi est la multiplicité de l'anneau local .

La multiplicité d'un point d'un schéma est définie comme étant la multiplicité de l'anneau local correspondant .

Voir aussi

j-multiplicité

Notes et références

Catégorie:Géométrie algébrique Catégorie:Algèbre commutative