En arithmétique géométrique, un nombre polytopique centré, ou nombre hyperpolyédrique centré, est un nombre figuré comptant des points disposés régulièrement dans un polytope (ou hyperpolyèdre), par couches successives à partir du centre.
Cas des trois familles de polytopes réguliers en toutes dimensions Pour un polytope de dimension possédant, pour , cellules de dimension qui sont toutes des polytopes équivalents ( ), le nombre de points ajoutés à l'étape estoù est le nombre polytopique d'ordre associé aux cellules de dimension , auquel on retranche le nombre de points situés sur leur frontière.
Nombres simpliciaux centrés ou hypertétraédriques centrés Ce sont des nombres figurés comptant des points répartis dans un simplexe, polytope généralisant le triangle et le tétraèdre. Le -ième nombre -simplicial centré ou hypertétraédrique centré de dimension est le nombre de points dans un -simplexe dont les arêtes comportent points.
On l'obtient par la formule : où est le nombre simplicial non centré de dimension .
Avec la formule de la crosse de hockey, ceci se simplifie en .
Par exemple, pour les dimensions de 1 à 6, ce sont :
(nombres linéaires centrés) , nombres triangulaires centrés, , nombres tétraédriques centrés, , nombres pentatopiques centrés, , nombres 5-hypertétraédriques centrés, , nombres 6-hypertétraédriques centrés, .
Nombres hypercubiques centrés Ce sont des nombres figurés comptant des points répartis dans un hypercube, polytope généralisant le carré et le cube. Le -ième nombre - hypercubique centré ou hypercubique centré de dimension est le nombre de points dans un hypercube dont les arêtes comportent points. Il est égal à .
Par exemple, pour les dimensions de 1 à 4, ce sont :
(nombres linéaires centrés) , nombres carrés centrés, , nombres cubiques centrés, , nombres 4-hypercubiques centrés,
Nombres hyperoctaédriques centrés Ce sont des nombres figurés comptant des points répartis dans un hyperoctaèdre, polytope généralisant le carré et l'octaèdre. Le -ième nombre - hyperoctaédrique centré ou hyperoctaédrique centré de dimension est le nombre de points dans un hyperoctaèdre dont les arêtes comportent points. Il est égal à , et il n'est autre que le nombre de Delannoy .
Cas des cinq polytopes réguliers exotiques
En dimension trois
En dimension quatre Pour les nombres hyperdodécaédriques centrés ou hécatonicosachoriques centrés, les nombres hypericosaédriques centrés ou hexacosichoriques centrés, et les nombres hypergranatoédriques centrés ou icositétrachoriques centrés :
Voir aussi
Nombre polytopique (non centré)
Notes et références
Catégorie:Nombre figuré