En géométrie euclidienne ou hilbertienne, le déterminant de Gram permet de calculer des volumes et de tester l'indépendance linéaire d'une famille de vecteurs. Il associe des calculs de produits scalaires et d'un déterminant. Son nom est un hommage au mathématicien danois Jørgen Pedersen Gram (1850-1916).
L'article déterminant montre comment définir le volume orienté d'un parallélotope formé par vecteurs dans un espace de dimension , sans nécessité de munir cet espace d'un produit scalaire. Les déterminants de Gram demandent de définir un tel produit scalaire, permettent le calcul des volumes des parallélotopes de toutes dimensions, mais sans notion d'orientation.
Plus généralement, il est possible de calculer des déterminants de Gram sur un espace quadratique. En dimension finie, le discriminant d'une forme bilinéaire symétrique est un cas particulier de déterminant de Gram.
Définition
Soit , un espace préhilbertien réel. Si sont vecteurs de , la matrice de Gram associée est la matrice symétrique de terme général (le produit scalaire des vecteurs et ). Le déterminant de Gram est le déterminant de cette matrice, soit
Matrice de Gram Les vecteurs colonnes de la matrice de Gram admettent les mêmes relations de dépendance linéaire (dans l'espace des n-uplets de réels) que les vecteurs dans : si on note la famille des vecteurs colonnes de la matrice de Gram, on a pour toute famille de réels si et seulement si . Il s'ensuit que la famille de vecteurs et sa matrice de Gram ont le même rang.
Une matrice de Gram peut être vue comme la représentation du tenseur métrique dans une base choisie. Le tenseur métrique est usuellement noté avec la lettre g minuscule, cet usage trouve son origine dans le nom de la matrice de Gram notée G.
Déterminant de Gram Propriétés
Écriture à l'aide d'une matrice représentative
Soit , une base orthonormale de l'espace engendré par la famille , et , la matrice représentative de dans . Autrement dit, est la matrice de taille dont la -ème colonne contient les coordonnées du vecteur dans , étant la dimension de .
La matrice de Gram de est alors . Elle est donc positive. Vu son rang , elle est donc définie positive (c'est-à-dire positive et de déterminant non nul) si et seulement si les sont linéairement indépendants.
Effet d'opérations élémentaires la multiplication d'un des vecteurs par le réel provoque une multiplication du déterminant de Gram par le déterminant de Gram est invariant par permutation des l'ajout à un vecteur d'une combinaison linéaire des autres vecteurs laisse invariant le déterminant de Gram
Propriétés Si pour tout , alors . Un déterminant de Gram est toujours positif ou nul (puisque c'est le déterminant d'une matrice positive). Le déterminant de Gram d'une famille de vecteurs est nul si et seulement si cette famille est liée (comme cela a été déjà dit plus haut).
Application à la distance d'un vecteur à un sous-espace vectoriel
Soit , un sous-espace vectoriel de dimension finie de muni d'une base , et . Soit le projeté orthogonal de sur . Alors., .
Application au calcul des composantes d'un vecteur dans une base quelconque
Soit , un sous-espace vectoriel de dimension finie de muni d'une base , et .
On pose . Alors pour tout on a la relation
Il ne reste plus qu'à trouver le signe de chaque pour déterminer les coordonnées de dans .
Interprétation géométrique
Calcul des volumes de parallélotopes
Le calcul de la distance à un sous-espace permet de montrer par récurrence que le déterminant de Gram d'une famille de vecteurs est égal au carré du volume euclidien du parallélotope correspondant.
Pour , c'est bien le cas, car .
En supposant la propriété vraie pour toute famille de vecteurs, on l'établit pour : la distance au carré de à , l'espace engendré par les premiers vecteurs, est le carré de la hauteur du parallélotope, et est le carré du volume de la base par hypothèse de récurrence.
Le volume s'obtient donc en prenant la racine carrée du déterminant de Gram, sans qu'il soit possible de lui donner un signe (pour plus de détails sur cette dernière question, consulter l'article orientation).
Notes et références
Liens externes
Catégorie:Algèbre bilinéaire Gram