En géométrie plane, un point de Hofstadter est un point spécial associé à chaque triangle plan. En fait il existe plusieurs points de Hofstadter associés à un triangle. Tous sont des centres du triangle. Deux d'entre eux, le point de 0-Hofstadter et le point de 1-Hofstadter, se distinguent des autres. Ce sont deux centres triangulaires transcendantaux. Le point de 0-Hofstadter est le centre désigné par X(360) et le point de 1-Hofstafter est le centre désigné par X(359) dans l'Encyclopédie des centres triangulaires de Clark Kimberling. Le point de 0-Hofstadter a été découvert par Douglas Hofstadter en 1992.
Triangles de Hofstadter vignette|400x400px Soit un triangle donné. Soit une constante réelle positive.
On fait pivoter le segment de droite autour de d'un angle vers l'intérieur du triangle et soit la droite contenant ce segment de droite. On fait ensuite pivoter le segment de droite autour de d'un angle vers l'intérieur du triangle également. Soit la droite contenant ce segment de droite. Les droites et se coupent en . De la même manière, on construit les points et . Le triangle dont les sommets sont est le -triangle de Hofstadter (ou le triangle de -Hofstadter) de .
Cas particuliers
Le triangle de 1/3-Hofstadter du triangle est le premier triangle de Morley de . Le triangle de Morley est toujours un triangle équilatéral. Le triangle de 1/2-Hofstadter est simplement le centre du cercle inscrit du triangle.
Coordonnées trilinéaires des sommets des triangles de Hofstadter
Les coordonnées trilinéaires des sommets du triangle de -Hofstadter sont données ci-dessous :
Paires de Hofstadter Kimberling a mis en évidence que, pour , les triangles de -Hofstadter et de -Hofstadter sont en perspective.
Points de Hofstadter droite|vignette|432x432px| Animation montrant divers points de Hofstadter pour r entre 0 et 1. est le point de 0-Hofstadter. est le point de 1-Hofstadter. Le petit arc rouge au centre du triangle est le lieu des points de -Hofstadter pour . Ce lieu passe par le centre du cercle inscrit du triangle. Pour une constante réelle positive , soit le triangle de -Hofstadter du triangle . Alors les droites sont concourantes. Le point de concours est appelé le point de -Hofstdter de .
Coordonnées trilinéaires du point de -Hofstadter Les coordonnées trilinéaires du point de -Hofstadter sont données ci-dessous.
Points de 0 et 1-Hofstadter Les coordonnées trilinéaires de ces points ne peuvent pas être obtenues en insérant les valeurs 0 et 1 pour dans les expressions des coordonnées trilinéaires du point de -Hofstadter.
Le point de 0-Hofstadter est la limite du point de -Hofstadter lorsque s'approche de zéro ; ainsi, les coordonnées trilinéaires du point de 0-Hofstadter se déduisent ainsi :
Puisque
Le point de 1-Hofstadter est la limite du point de -Hofstadter lorsque s'approche de 1 ; ainsi, les coordonnées trilinéaires du point de 1-Hofstadter s'obtiennent ainsi :
Or,
Références
Catégorie:Centre du triangle