droite|On obtient la catégorie opposée d'une catégorie en inversant les flèches. En théorie des catégories, une branche des mathématiques, la catégorie opposée ou catégorie duale d'une catégorie donnée est la catégorie formée en inversant les morphismes, c'est-à-dire en échangeant la source et le but de chaque morphisme de . En effectuant l’inversion deux fois, on obtient à nouveau la catégorie d’origine ; en symboles, .
Exemples Si (X,≤) est un ensemble partiellement ordonné, on peut lui associer une catégorie C(X,≤) dont les objets sont les éléments de X, avec une flèche fx,y de x vers y si x≤y. Alors la catégorie opposée à C(X,≤) est la catégorie associé à l'ordre ≥, défini par x ≥ y si et seulement si y ≤ x.
Étant donné un semi-groupe ( S, ·), on peut définir le semi-groupe opposé comme ( S, ·) op = ( S, *) où x * y ≔ y · x pour tout x, y dans S . Cette construction fonctionne également pour les groupes et pour les anneaux, appliquée au semi-groupe multiplicatif de l'anneau.
Propriétés La catégorie opposée préserve les produits :
La catégorie opposée préserve les foncteurs :
H. Herrlich, G. E. Strecker, Category Theory, 3rd Edition, Heldermann Verlag, , p. 99.O. Wyler, Lecture Notes on Topoi and Quasitopoi, World Scientific, 1991, p. 8.
De plus, dans la catégorie opposée sont échangés sommes et produits, sommes amalgamées et produits fibrés, limites inductives et limites projectives.
Voir aussi
Dualité (théorie des catégories) Dualité (mathématiques) Foncteur adjoint Foncteur contravariant Foncteur opposé
Références
Catégorie:Théorie des catégories