En géométrie euclidienne, la polarité trilinéaire est une certaine correspondance entre les points du plan d'un triangle ne se trouvant pas sur les côtés du triangle et les droites du plan du triangle ne passant pas par les sommets du triangle. Coxeter précise cependant : C'est Jean-Victor Poncelet (1788–1867), un ingénieur et mathématicien français, qui a introduit l'idée de la polaire trilinéaire d'un point en 1865.
Définitions droite|vignette|338x338px|Construction d'une polaire trilinéaire d'un point Soit un triangle plan et soit un point quelconque du plan du triangle non situé sur les côtés du triangle. Formellement, la polaire trilinéaire de est l'axe de l'homologie entre le triangle cévien de et le triangle .
Plus précisément, on trace les droites qui intersectent les côtés en respectivement. Le triangle est le triangle cévien de par rapport au triangle . Les paires de droites se croisent respectivement en respectivement. D'après le théorème de Desargues, les points sont colinéaires. La droite de colinéarité est l'axe de l'homologie entre le triangle et le triangle . La droite est la polaire trilinéaire du point .
Les points peuvent également être obtenus comme les conjugués harmoniques de par rapport aux paires de points respectivement. Poncelet a utilisé cette idée pour définir le concept de polaires trilinéaires.
Si la droite est la polaire trilinéaire du point par rapport au triangle de référence alors est appelé le pôle trilinéaire de la droite par rapport au triangle de référence .
Équation trilinéaire Soit les coordonnées trilinéaires du point . Alors l'équation trilinéaire de la polaire trilinéaire de est
Construction du pôle trilinéaire droite|vignette|377x377px| Construction d'un pôle trilinéaire d'une ligne Une droite croise les côtés (étendus) du triangle en respectivement. Les couples de droites se rencontrent en . Les triangles et sont homologiques et soit le centre de l'homologie. est le pôle trilinéaire de la ligne .
Quelques polaires trilinéaires Certaines des polaires trilinéaires sont bien connues.
La polaire trilinéaire du centre de gravité du triangle est la droite à l'infini. La polaire trilinéaire du point symédian est l'axe de Lemoine du triangle . Le pôle trilinéaire de l'orthocentre est l'axe orthique. Les polaires trilinéaires ne sont pas définies pour les points coïncidant avec les sommets du triangle .
Pôles de faisceaux de droites vignette|338x338px| Animation illustrant le fait que le lieu des pôles trilinéaires d'un faisceau de droites passant par un point fixe est une conique circonscrite du triangle de référence. Soit de coordonnées trilinéaires le pôle d'une droite passant par un point fixe de coordonnées trilinéaires . L'équation de cette droite est
Puisqu'elle passe par ,
Ainsi, le locus de est
Il s'agit d'une conique circonscrite au triangle de référence . Ainsi le lieu des pôles d'un faisceau de droites passant par un point fixe est une conique circonscrite au triangle de référence.
On peut montrer que est le perspecteur de , à savoir, où et le triangle polaire par rapport à sont homologiques. Le triangle polaire est délimité par les tangentes à aux sommets de . Par exemple, la polaire trilinéaire d'un point du cercle circonscrit doit passer par son perspecteur, le point de Lemoine X(6).
Références
Liens externes
Trilinear Polar sur geometrikon Isotomic image of a line sur geometrikon
Catégorie:Géométrie du triangle