En géométrie du triangle, les paraboles d'Artzt peuvent désigner deux types de triplets de paraboles liées à un triangle. Elles sont nommées d'après Augustus Artzt.
Paraboles d'Artzt du premier type Définition
Dans un triangle ABC, on construit un point P sur le côté (étendu) AB, puis on construit le parallélogramme AQPS, avec Q et S sur les deux autres côtés du triangle. Alors l'enveloppe des droites QS, pour tout P, est la parabole d'Artzt pour AB.
On construit de même les paraboles d'Artzt pour BC et AC.
Propriétés
La parabole d'Artzt construite pour le côté AB est tangente en A à AC et en B à BC, mais aussi au côté du triangle médian parallèle à AB, en son milieu.
Les trois paraboles se croisent en trois points, qui forment un triangle homothétique au triangle médian, de centre d'homothétie le centre de gravité de ABC et de rapport 2/3.
Les foyers des paraboles d'Artzt sont les sommets du second triangle de Brocard (les intersections des symédianes du triangle ABC et de son cercle de Brocard, autre que le point de Lemoine).
Les directrices sont les droites passant par les points d'intersection entre les hauteurs du triangle et les droites perpendiculaires aux côtés du triangle et passant par ses sommets ; par exemple, la directrice de la parabole d'Artzt liée à AB est la droite passant par le point d'intersection de la hauteur issue de A et la perpendiculaire à CA passant par C, et le point d'intersection de la hauteur issue de B et la perpendiculaire à CB passant par C. Ces trois directrices et le triangle de référence sont homologiques.
En coordonnées barycentriques, les paraboles d'Artzt ont pour équations .
Paraboles d'Artzt du second type
Définition
Dans un triangle ABC, on construit, pour le point A, les bissectrices intérieure et extérieure en A, et les médiatrices de [AB] et [AC]. Ces quatre droites sont tangentes à une même parabole, qui est la parabole d'Artzt du second type pour A. On construit de façon similaire les paraboles d'Artzt du second type pour B et C.
Propriétés
Les foyers des paraboles du second type sont les sommets du deuxième triangle de Brocard, et leurs directrices sont les médianes de ABC. Plus précisément, pour un sommet donné, le foyer de la parabole d'Artzt du second type qui lui est associé est le sommet du second triangle de Brocard sur la symédiane issue du sommet, et sa directrice est la médiane issue du sommet.
Pour tout sommet, le côté du triangle médian face au sommet et la médiatrice de ce côté sont également tangentes à la parabole.
Applications
Les paraboles d'Artzt du premier type apparaissent dans la solution de problèmes mathématiques.
Références
Catégorie:Géométrie du triangle