En analyse, l'équation de Liouville – Bratu – Gelfand est une équation de Poisson non linéaire dont le nom vient de celui des mathématiciens Joseph Liouville, Gheorghe Bratu et Israel Gelfand. Cette équation s'écrit :
L'équation apparaît dans la théorie de Frank-Kamenetskii en combustion, en astrophysique avec l'équation de Emden-Chandrasekhar. Elle décrit également la charge d'espace autour d'un fil incandescent ou les nébuleuses planétaires.
La solution de Liouville
En deux dimensions et en coordonnées cartésiennes Joseph Liouville a proposé en 1853 la solution suivante :
où est une fonction analytique arbitraire avec .
En 1915, G. W. Walker a trouvé une solution en supposant une forme pour . Si on définit la quantité par , alors la solution de Walker est :
où est un rayon fini. Cette solution décroît à l'infini pour tout mais devient infinie à l'origine pour . Elle est finie à l'origine pour et s'annule pour . Walker a également proposé deux autres solutions dans son article de 1915.
Formes à symétrie radiale
Si le système à étudier est à symétrie radiale, alors l'équation en dimension devient :
où est la distance par rapport à l'origine. Avec les conditions aux limites et pour une solution réelle n'existe que pour , où est le paramètre critique appelé paramètre de Frank-Kamenetskii. Le paramètre critique est pour , pour et pour . Pour ou deux solutions existent et pour il existe une infinité de solutions oscillant autour du point . Pour la solution est unique et le paramètre critique est donné par . La multiplicité de solutions pour a été découverte par Israel Gelfand en 1963 et plus tard généralisée pour tout par Daniel D. Joseph et Thomas S. Lundgren en 1973.
La solution pour qui est valide dans la plage est donnée par :
où est lié à par :
La solution pour qui est valide dans la plage est donné par
où est lié à par :
Il n'existe pas de solution analytique pour .
Références
Catégorie:Équation différentielle Catégorie:Astrophysique Catégorie:Combustion