Les parenthèses de Lagrange (parfois appelées crochets de Lagrange), introduites par Joseph-Louis Lagrange en 1808-1810, sont des expressions nées pour les besoins de la formulation mathématique de la mécanique classique. Elles sont liées entre autres aux parenthèses de Poisson, mais sont rarement utilisées aujourd'hui.
Définition Supposons que soit un système de coordonnées canoniques sur un espace de phase. Si chacune des coordonnées de ce système est exprimée comme une fonction de deux variables, et , alors le support de Lagrange de et est défini par la formule suivante
Propriétés
Les crochets de Lagrange ne dépendent pas du système de coordonnées canoniques . Si est un autre système de coordonnées canoniques, de sorte que est une transformation canonique, alors le crochet de Lagrange est un invariant de la transformation, dans le sens où Par conséquent, les indices indiquant les coordonnées canoniques sont souvent omis. Si est la forme symplectique sur l'espace des phases de dimension et que forme un système de coordonnées sur , la forme symplectique peut s'écrire comme où la matrice représente les composantes de , vues comme un tenseur, dans les coordonnées u . Cette matrice est l'inverse de la matrice formée par les crochets de Poisson des coordonnées u. En corollaire des propriétés précédentes, les coordonnées sur un espace des phases sont canoniques si et seulement si les crochets de Lagrange entre elles ont la forme
Matrice de Lagrange dans les transformations canoniques On considère la transformation canonique suivante :
Définition , la matrice de Lagrange est définie comme , où est la matrice symplectique sous les mêmes conventions utilisées pour ordonner l'ensemble des coordonnées. Il résulte de la définition que :
La matrice de Lagrange satisfait les propriétés connues suivantes : où le est connue sous le nom de matrice de Poisson et dont les éléments correspondent à des crochets de Poisson. La dernière identité peut également être énoncée comme suit : Notez que la sommation ici implique des coordonnées généralisées ainsi qu’une impulsion généralisée.
L'invariance du support de Lagrange peut être exprimée comme : , ce qui conduit directement à la condition symplectique: .
Références
Voir aussi Bibliographie Cornelius Lanczos, Les principes variationnels de la mécanique, Douvres (1986), . Iglesias, Patrick, Les origines du calcul symplectique chez Lagrange, L'Enseign. Mathématiques. (2) 44 (1998), n° 3-4, 257–277. MR Eric W. Weisstein. "Lagrange bracket". MathWorld.
Articles connexes Équations de Lagrange Mécanique hamiltonienne
Liens externes
Catégorie:Mécanique hamiltonienne