En algèbre, l'identité des seize carrés de Pfister est une identité non bilinéaire de la forme :
Son existence a été prouvée pour la première fois par H. Zassenhaus et W. Eichhorn dans les années 1960, et indépendamment par Albrecht Pfister à la même époque. Il en existe plusieurs versions, dont une concise est :
Si on annule les et pour , l'identité se réduit à l'identité des huit carrés de Degen (en bleu). Les sont égaux à :
où :
Cette identité montre que le produit de deux sommes de seize carrés d'entiers est la somme de seize carrés de rationnels. De plus, les satisfont à :
Il n'existe pas d'identité concernant deux produits de seize carrés impliquant uniquement des fonctions bilinéaires puisque le théorème de Hurwitz énonce qu'une identité de la forme :
où les sont des fonctions bilinéaires des et n'est possible que pour {1, 2, 4, 8}. Cependant, un théorème plus général dû à Pfister datant de 1965 montre que si les sont des fonctions rationnelles d'un ensemble de variables, donc ont un dénominateur, une telle relation existe pour tout . Il existe également des versions non bilinéaires des identités des quatre carrés d'Euler. et des huit carrés de Degen.
Notes et références
Voir aussi Identité de Brahmagupta Identité des quatre carrés d'Euler Identité des huit carrés de Degen Sédénions
Catégorie:Théorie analytique des nombres Catégorie:Identité mathématique