Le triangle de Floyd est un tableau triangulaire d'entiers naturels utilisé en enseignement de l'informatique, portant le nom du chercheur en informatique Robert Floyd. Il présente les entiers strictement positifs dans l'ordre, chaque ligne comportant un terme de plus que la précédente.
Présenté en escalier : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Présenté en pyramide : 1 23 4 56 7 8 910 Le problème de l'écriture d'un programme informatique pour produire ce triangle a été fréquemment utilisé comme exercice ou exemple pour les programmeurs informatiques débutants, couvrant les concepts de formatage de texte et de constructions de boucles simples.
Définition mathématique Le triangle de Floyd peut être défini par la suite double définie par , pour ; les sont les nombres triangulaires.
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La ligne est obtenue en ajoutant à la ligne précédente () et en complétant par le successeur du dernier terme. Les nombres situés sur le bord gauche forment la suite du traiteur paresseux (nombres triangulaires augmentés de 1) : ; ceux du bord droit forment la suite des nombres triangulaires : . Les termes centraux des lignes impaires sont les nombres carrés centrés, sommes de deux carrés consécutifs : , en rouge dans la figure ci-contre. La somme des termes de la ligne est égale à , constante du carré magique normal ().
La somme des termes des premières lignes est égale à , nombre doublement triangulaire : .
Variante 1 : triangle des nombres impairs Même construction que le précédent, mais le triangle ne présente que les entiers impairs. Il a été par exemple considéré par Charles Wheatstone en 1856..
Présenté en escalier : 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 Présenté en pyramide : 135 7911 13 1517192123252729
Définition mathématique Ce triangle peut être défini par la suite double définie par , pour .
Il est répertorié comme .
Propriétés vignette|300x300px| Extrait de la publication de Charles Wheatstone. La ligne est obtenue en ajoutant à la ligne précédente () et en complétant par le dernier terme augmenté de 2. Les nombres situés sur le bord gauche sont les nombres polygonaux centraux : , ; ceux du bord droit : , . Les termes centraux des lignes impaires sont les nombres carrés impairs : . La somme des termes de la ligne est égale à
La somme des termes des premières lignes est égale à (somme d'impairs consécutifs), mais aussi, d'après ce qui précède, égale à ; ceci constitue la démonstration de Wheatstone de la formule de Nicomaque.
Variante 2 Ce triangle présente tous les entiers à partir de 1, avec deux termes de plus à chaque ligne.
Présenté en escalier : 1 2 34 5 6 789 10 11 12 13141516 Présenté en pyramide : 1234 56789 1011 1213141516
Définition mathématique Ce triangle peut être défini par la suite double définie par , pour .
Propriétés La ligne est obtenue en ajoutant à la ligne précédente () et en complétant par les deux successeurs du dernier terme. Les nombres situés sur le bord gauche sont les carrés augmenté de 1 : ; ceux du bord droit les carrés : . Les termes centraux sont les nombres polygonaux centraux : , . La somme des termes de la ligne est égale à , nombre cubique centré ().
La somme des termes des premières lignes est égale à : ; elle est aussi égale d'après ce qui précède à , ce qui donne
Références
Voir aussi Tableau triangulaire
Liens externes
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