En analyse, les intégrales de log-sinus () désignent la suite de fonctions
Ces fonctions sont liées à de nombreuses fonctions spéciales, comme la fonction Gamma d'Euler.
Propriétés Quasi-périodicité Les intégrales en log-sinus sont quasi périodiques :
Valeurs spéciales en Les valeurs des intégrales en sont liées par une forme de récurrence avec la constante d'Apéry :
Pour leur calcul, on établit la relation suivante:
On en tire l'égalité :
avec , la fonction êta de Dirichlet.
Valeurs spéciales en /2 (constante de Catalan),
Liens avec les autres fonctions spéciales La fonction intégrale en log-sinus pour est une fonction de Clausen :
Elle est aussi liée à la fonction de Lobachevski :
Les intégrales en log-sinus apparaissent dans les valeurs de la dérivée de la fonction bêta :
Extensions Intégrales en log-sinus-cosinus Lewin a également étudié le cas des intégrales en log-sinus-cosinus () :
en établissant que
Intégrales généralisées Les intégrales en log-sinus généralisées () sont données par :
Elles sont liées aux fonctions polylogarithmes et aux fonctions de Glaisher-Clausen.
On a :
Applications Ces intégrales apparaissent dans plusieurs champs des mathématiques et de la physique. Les intégrales de log-sinus et log-sinus-cosinus apparaissent dans le calcul des termes de haut degré du développement en epsilon de plusieurs diagrammes de Feynman. En théorie des nombres, elles permettent d'exprimer des classes de sommes binomiales inverses.
Références
Voir aussi Fonction spéciale Fonction de Lobatchevski Mesure de Mahler Volume hyperbolique
* Catégorie:Fonction hypergéométrique Catégorie:Fonction spéciale Catégorie:Leonhard Euler