Les coordonnées toroïdales sont un système de coordonnées tridimensionnel orthogonal résultant de la rotation du système de coordonnées bipolaires bidimensionnel autour de l'axe séparant ses deux foyers. Ainsi, les deux foyers et du système bipolaire deviennent un anneau de rayon situé dans le plan du système de coordonnées toroïdales ; l'axe est l'axe de rotation. Cet anneau focal est également appelé le cercle de référence.
Définition La définition la plus courante des coordonnées toroïdales est :
accompagnée de la condition .
La coordonnée d'un point correspond à l'angle , tandis que la coordonnée est égale au logarithme naturel du rapport des distances et aux côtés opposés de l'anneau focal : .
Les plages des coordonnées sont : , et .
Surfaces de coordonnées
Les surfaces de constante correspondent à des sphères de rayons différents :
qui passent toutes par l'anneau focal mais ne sont pas concentriques.
Les surfaces de constante sont des tores non intersectants de rayons différents :
qui entourent l'anneau focal. Les centres des sphères de constante se trouvent le long de l'axe , tandis que les centres des tores de constante se trouvent dans le plan .
Facteurs d'échelle Les facteurs d'échelle pour les coordonnées toroïdales et sont égaux :
tandis que le facteur d'échelle azimutal est :
Ainsi, l'élément infinitésimal de volume est donné par :
Harmoniques toroïdales Séparation standard L'équation à trois variables équation de Laplace
admet une solution par séparation des variables dans les coordonnées toroïdales. En faisant la substitution , une équation séparable est obtenue. Une solution particulière obtenue par séparation des variables est :
où chaque fonction est une combinaison linéaire de :
où P et Q sont les fonctions de Legendre associées de premier et second type. Ces fonctions de Legendre sont souvent appelées harmoniques toroïdales.
Les harmoniques toroïdales ont de nombreuses propriétés intéressantes. Si vous faites un changement de variable , alors, par exemple, avec un ordre nul (la convention est de ne pas écrire l'ordre lorsqu'il est nul) et :
et :
où et sont les intégrales elliptiques complètes du premier et second type respectivement. Le reste des harmoniques toroïdales peut être obtenu, par exemple, en termes d'intégrales elliptiques complètes, en utilisant les relations de récurrence pour les fonctions de Legendre associées.
Les applications classiques des coordonnées toroïdales sont dans la résolution des équations aux dérivées partielles, par exemple, l'équation de Laplace pour laquelle les coordonnées toroïdales permettent une séparation des variables ou l'équation de Helmholtz, pour laquelle les coordonnées toroïdales ne permettent pas une séparation des variables. Des exemples typiques seraient le potentiel électrique et le champ électrique d'un tore conducteur, ou dans le cas dégénéré, un anneau de courant électrique (Hulme 1982).
Une séparation alternative Alternativement, une autre substitution peut être effectuée (Andrews 2006) :
où : .
Encore une fois, une équation séparable est obtenue. Une solution particulière obtenue par séparation des variables est alors :
où chaque fonction est une combinaison linéaire de :
.
Bien que les harmoniques toroïdales soient à nouveau utilisées pour la fonction T, l'argument est plutôt que et les indices et sont échangés. Cette méthode est utile pour les situations où les conditions aux limites sont indépendantes de l'angle sphérique , telles que l'anneau chargé, un plan infini, ou deux plans parallèles. Pour les identités reliant les harmoniques toroïdales avec l'argument hyperbolique cosinus et celles de l'argument hyperbolique cotangent, voir les formules de Whipple.
Notes et références
Voir aussi Bibliographie
Byerly, W E. (1893) An elementary treatise on Fourier's series and spherical, cylindrical, and ellipsoidal harmonics, with applications to problems in mathematical physics Ginn & co. pp. 264–266
Liens externes
MathWorld description of toroidal coordinates
toroïdales