En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, une forme bilinéaire est une application qui à un couple de vecteurs associe un scalaire, et qui est linéaire en ses deux arguments.
Formellement, étant donné un espace vectoriel sur un corps commutatif , une forme bilinéaire est une application telle que, pour tous et tous ,
Des exemples de formes bilinéaires d'intérêt particulier sont donnés par les produits scalaires : en effet, tout produit scalaire est une forme bilinéaire; et toute forme bilinéaire symétrique et définie positive est un produit scalaire.
Motivations Les formes bilinéaires interviennent dans de nombreux domaines des mathématiques fondamentales et appliquées. Elles forment une vaste classe d'outils utilisés pour traiter des questions de natures très diverses.
Algèbre linéaire
Le domaine natif des formes bilinéaires est celui de l'algèbre linéaire. La notion de forme bilinéaire est définie sur les espaces vectoriels et se généralise sur les modules, structures de base de l'algèbre linéaire. Ces formes sont intimement liées aux applications linéaires. Le savoir associé à ces dernières permet d'éclairer la structure d'une forme bilinéaire et réciproquement les formes bilinéaires permettent d'élucider certaines particularités d'applications linéaires, par exemple dans le cas des endomorphismes autoadjoints.
Le dual est un espace vectoriel important dans l'étude des formes bilinéaires : l'espace vectoriel des formes bilinéaires est une copie exacte de celui des applications linéaires d'un espace dans un dual. La connaissance de la géométrie de l'espace ainsi que celle du dual permet d'élucider celle des applications linéaires de l'un vers l'autre et par la même occasion celle des formes bilinéaires. Dans le cas de la dimension finie, cette analyse est simple, le dual est une copie (non canonique) de l'espace de départ.
Il existe un outil générique pour construire des formes bilinéaires et étudier leurs propriétés : le produit tensoriel. Il permet notamment de construire de nouveaux espaces vectoriels possédant une géométrie particulière, ce dont les physiciens font grand usage. Par exemple, le champ magnétique vérifie des propriétés de symétrie bien représentées par un espace de formes bilinéaires.
Géométrie L'adjonction d'une forme bilinéaire bien choisie est source de formalisations de géométries. L'exemple le plus célèbre est peut-être celui des espaces euclidiens pour les espaces vectoriels sur le corps de nombres des réels dans le cas de la dimension finie. Cette forme bilinéaire appelée produit scalaire joue alors le même rôle que la forme bilinéaire canonique entre l'espace et son dual, permettant une formalisation plus concrète et plus facile d'accès.
Ceci n'est pas le seul exemple, un équivalent existe pour les nombres complexes. Un autre en dimension infinie existe avec les espaces préhilbertiens comportant un cas particulier essentiel, l'espace de Hilbert. En dimension finie, le choix d'une forme bilinéaire ayant d'autres propriétés permet de construire d'autres géométries. L'espace de Minkowski est construit à l'aide d'une approche de cette nature. Il offre un cadre géométrique à la théorie de la relativité restreinte.
L'influence des formes bilinéaires dans la géométrie ne se limite pas à la formalisation de nouveaux espaces. La relation entre certaines surfaces comme les quadriques et les formes bilinéaires est profonde. L'apport des différents outils provenant de l'algèbre linéaire permet une classification générale et pour une dimension quelconque.
Analyse fonctionnelle
Il est fructueux de considérer un ensemble de fonctions issu de l'analyse, comme les fonctions du segment [0,1] à valeurs réelles et infiniment dérivables. Un ensemble de cette nature étant un espace vectoriel de dimension infinie, les résultats de l'algèbre linéaire fondée sur l'utilisation de bases de cardinaux finis ne s'appliquent plus. L'étude de formes bilinéaires sur les espaces de cette nature s'avère féconde.
Un outil devient essentiel pour l'étude d'espaces vectoriels de cette nature, la topologie. Elle induit naturellement une autre topologie sur le dual. Il existe un cas particulier analogue à celui de la dimension finie, celui où le dual est une copie de l'espace des fonctions. Tel est le cas par exemple pour l'ensemble des fonctions de [0,1] à valeurs réelles qui sont de carrés intégrable. Un tel espace peut être muni d'un produit scalaire, apportant un service analogue à celui des espaces euclidiens, il porte le nom d'espace de Hilbert.
Dans le cas général, le dual possède une structure différente de celle de l'espace de départ. Une autre forme bilinéaire est utilisée, celle qui à un élément du dual f et à un élément de l'espace x associe f(x). L'étude d'une telle structure est plus simple si la topologie est issue d'une norme possédant au moins une bonne propriété, la complétude. Un tel espace est appelé espace de Banach. La forme bilinéaire canonique entre le dual et l'espace prend souvent le nom de produit scalaire.
Arithmétique La démarche des mathématiciens ayant étudié les espaces fonctionnels consiste à retirer une hypothèse auparavant toujours utilisée, celle de la dimension finie. Elle est finalement féconde et de nombreux théorèmes en analyse fonctionnelle tirent leur origine de l'étude d'une forme bilinéaire, comme un produit scalaire analogue à celui des espaces euclidiens ou issu de la forme canonique entre un espace et son dual. Une autre hypothèse peut être retirée, celle qui garantit que tout nombre différent de zéro du corps sous-jacent à l'espace vectoriel possède un inverse pour la multiplication.
Un exemple étudié depuis longtemps est celui des équations diophantiennes. Certaines d'entre elles s'écrivent comme la recherche des racines d'une équation polynomiale à plusieurs variables et à coefficients entiers. Les solutions recherchées sont celles qui s'expriment uniquement avec des nombres entiers. Un exemple célèbre et difficile est le grand théorème de Fermat. L'équation s'écrit xn + yn = zn. Les solutions peuvent être vues comme des points d'intersection entre ℤ, où ℤ désigne l'ensemble des entiers, et une surface d'un espace géométrique de dimension trois. Un changement de repère permet parfois de simplifier l'expression d'une équation diophantienne. Pour être pertinent, ce changement de repère doit respecter la géométrie de l'espace. Il apparait comme une isométrie, c'est-à-dire une transformation respectant les distances et les angles, pour une bonne forme bilinéaire. Cette approche amène à l'étude des formes bilinéaires sur un module de dimension finie. « Module » signifie ici un quasi-espace vectoriel, les scalaires ne sont simplement plus toujours inversibles. Ils peuvent, par exemple, se réduire à l'ensemble des entiers. Un exemple de cette nature est utilisé pour la démonstration du théorème des deux carrés de Fermat par Joseph-Louis Lagrange (1736-1813).
Définitions Cette section donne des définitions générales concernant les formes bilinéaires, puis des définitions complémentaires associées à divers contextes.
Définitions générales Une forme désigne en mathématiques une application d'un espace vectoriel dans son corps des scalaires. Une forme bilinéaire est une application définie sur des couples de vecteurs : son espace de départ est le produit cartésien de deux espaces vectoriels E et F sur un même corps K. Lorsque E et F désignent le même espace, on parle de forme bilinéaire sur E. (x|y) est une notation fréquente pour désigner l'image du couple (x,y) par la forme bilinéaire ; elle est utilisée dans le reste de l'article.
La forme est dite linéaire par rapport à sa première variable si pour tout y, l'application qui à x associe (x|y) est linéaire. De même la forme est dite linéaire par rapport à sa deuxième variable si pour tout x, l'application qui à y associe (x|y) est linéaire.
Soit (.|.) une application de E×F dans K. La fonction (.|.) est dite bilinéaire si elle est linéaire par rapport à ses deux variables.
Remarque : si la caractéristique du corps des scalaires est différente de 2, à toute forme bilinéaire sur un espace E est associée une forme quadratique. C'est l'application qui à un vecteur x associe le scalaire (x|x). Plus précisément, l'application qui, à chaque forme bilinéaire symétrique associe sa forme quadratique est un isomorphisme. L'isomorphisme réciproque associe à la forme quadratique χ la forme bilinéaire (.|.) définie par :
La forme bilinéaire (.|.) définie par la ligne ci-dessus est dite forme polaire de la forme quadratique χ.
Remarque : Dans le cas des nombres complexes, il existe une autre forme disposant d'une linéarité différente et souvent plus intéressante, on parle alors de forme sesquilinéaire.
Par défaut, dans le reste de l'article, E et F sont deux espaces vectoriels sur un même corps K et (.|.) désigne une forme bilinéaire.
Définitions associées à l'orthogonalité La notion d'orthogonalité entre deux vecteurs, pour une forme bilinéaire, généralise celle de perpendicularité dans le cas d'un espace euclidien.
Deux vecteurs x de E et y de F sont dits orthogonaux si l'image du couple (x, y) par la forme bilinéaire est nulle. L'ensemble des vecteurs orthogonaux à tous les éléments d'une famille Φ de vecteurs de F est un sous-espace vectoriel de E, appelé orthogonal de Φ et souvent noté Φ. De même, l'orthogonal d'une famille de vecteurs de E est un sous-espace vectoriel de F.Si E est égal à F et que la forme bilinéaire n'est pas symétrique, pour éviter les confusions, on parle d'orthogonal à gauche et à droite. En particulier, le noyau à gauche d'une forme bilinéaire sur E×F est le sous-espace F de E constitué des vecteurs x tels que :On définit de même un noyau à droite E, qui est un sous-espace de F. Une forme bilinéaire est dite non dégénérée à gauche si son noyau à gauche est réduit au vecteur nul, c'est-à-dire siet l'on définit de même la non-dégénérescence à droite en anglais, 1965, ch. XIII, § 5.. La forme est dite non dégénérée si elle l'est à la fois à gauche et à droite..
Définitions associées au cas où E est égal à F Dans le cas où E est égal à F, il existe des propriétés spécifiques pour les formes bilinéaires. Dans ce paragraphe, la forme bilinéaire est définie sur E×E. Elle est dite symétrique si : , antisymétrique si : , alternée si : , définie si elle n'a pas de vecteur isotrope non nul : , réflexive si : .
Toute forme bilinéaire symétrique ou antisymétrique est réflexive et toute forme réflexive a même noyau à droite qu'à gauche.
Toute forme définie est non dégénérée.
Toute forme alternée est antisymétrique. Si la caractéristique du corps est différente de 2, alors les deux notions sont équivalentes.
Pour la propriété suivante, le corps K est supposé totalement ordonné, comme celui des réels. Une forme bilinéaire est dite : positive si ; négative si .
Exemples L'espace euclidien usuel
L'espace ℝ formé des triplets de nombres réels (x, y, z) peut être muni d'une forme bilinéaire nommée produit scalaire canonique. S'il est noté (.|.), il est défini par :
L'espace ℝ muni de son produit scalaire est qualifié d'euclidien.
La forme bilinéaire duale Un tel espace est équipé d'une autre forme bilinéaire importante définie à l'aide de l'espace dual (ℝ)*. Il correspond à l'ensemble des formes linéaires, c'est-à-dire les applications linéaires de (ℝ)* dans son corps des scalaires ℝ. Cette forme bilinéaire est l'application, de (ℝ)*×ℝ dans ℝ, qui au couple (d*, x) associe le réel 〈d*, x〉 image de x par la forme linéaire d*. À certains égards, elle ressemble à l'exemple précédent.
Soit (e1, e2, e3) la base canonique de ℝ, notons di l'image 〈d*, ei〉 de ei par d* et d le vecteur (d1, d2, d3) de ℝ. La propriété suivante est vérifiée :
Il existe donc une certaine équivalence entre les deux formes bilinéaires et toute forme linéaire est représentée par un vecteur de ℝ à l'aide du produit scalaire.