thumb|right|David Hilbert Dans un mémoire paru en 1899, Les Fondements de la géométrie (), David Hilbert propose une axiomatisation de la géométrie euclidienne. Ce sont ces axiomes, qui ont été révisés au cours des éditions successives par Hilbert lui-même, ou des axiomes directement inspirés de sa présentation que l'on appelle axiomes de Hilbert.
Hilbert se situe dans la lignée d'Euclide et de ses Éléments, qui du point de vue de la rigueur ne satisfont plus les géomètres du , car pour démontrer rigoureusement les théorèmes associés à cette géométrie, il est nécessaire d'admettre comme vraies des hypothèses supplémentaires laissées implicites par Euclide.
Hilbert établit un système d'axiomes simples, qu'il répartit en plusieurs groupes, dont il analyse la portée, les théorèmes qu'ils permettent de démontrer, et ceux qui ne peuvent être obtenus sans ce groupe d'axiomes. Son objet est, ainsi qu'il le présente dans son introduction, .
Les axiomes de Hilbert apparaissent souvent comme la version axiomatique moderne qui permet une fondation rigoureuse de la géométrie d'Euclide. Il existe cependant d'autres axiomatisations de la géométrie élémentaire (dont les objectifs sont en partie différents) comme celle de Tarski ou .
Contexte
La représentation d'Euclide Angles et longueurs chez Euclide
Euclide définit dans sa géométrie les notions de longueur et d'angle. Il est intéressant de voir ce qu'Euclide présuppose implicitement lorsqu'il les utilise.
Les définitions d'angle, d'angle droit, d'angle obtus, d'angle aigu, apparaissent dès les premières définitions du Livre I des Éléments. Un angle plan est l'inclinaison mutuelle de deux lignes qui se touchent dans un plan, et qui ne sont point placées dans la même direction. Lorsque les lignes, qui comprennent ledit angle, sont des droites, l'angle se nomme rectiligne. Lorsqu'une droite tombant sur une droite fait deux angles de suite égaux entre eux, chacun des angles égaux est droit. L'angle obtus est celui qui est plus grand qu'un droit. L'angle aigu est celui qui est plus petit qu'un droit. Cependant Euclide ne précise pas comment il définit l'égalité ou la comparaison de deux angles, pas plus qu'il ne définit l'égalité de deux longueurs. En fait, il apparaît qu'Euclide utilise implicitement la conservation des angles ou des longueurs de segments lorsque ceux-ci sont déplacés d'une position à l'autre, même si la notion de déplacement n'apparaît pas non plus explicitement dans les Éléments. Ainsi, pour montrer qu'un triangle ABC, ayant deux côtés AB et AC de même longueur, est tel que les angles B et C sont égaux, Euclide superpose les triangles ABC et ACB. Il suppose donc implicitement que, dans cette superposition, longueurs et angles sont conservés. La géométrie d'Euclide est donc ce qu'on pourrait appeler une géométrie des figures rigides.
La figure du paragraphe illustre le mécanisme d'une preuve classique dans la démonstration d'un théorème, celui de Pythagore. Les triangles AEC et IBC sont semblables car le deuxième est la rotation d'un quart de tour du premier. Un triangle est donc une figure rigide qui possède une aire invariante par rotation.
Théorie des proportions
Le livre V des éléments d'Euclide introduit une théorie des proportions entre grandeurs (longueur, aires, volumes). Cette théorie, attribuée à Eudoxe de Cnide par Archimède, qui ne fait jamais référence à Euclide, permet de traiter les rapports (ou raisons) entre grandeurs de même nature, y compris quand elles sont incommensurables. Une proportion signifie une « égalité » entre rapports. Un rapport de deux grandeurs n'est pas un nombre pour Euclide, même si on peut lui faire correspondre aujourd'hui un Nombre réel, qui est irrationnel quand les grandeurs sont incommensurables. Les opérations sur ces rapports doivent avoir un sens géométrique. Elles peuvent être multipliées ou divisées par un nombre entier.
Hilbert établit une théorie des proportions où les rapports ont le statut de nombre à part entière.
Géométries non euclidiennes thumb|upright=1.3|Une géométrie non euclidienne
Une idée fréquente pendant plus des deux millénaires qui ont suivi l'édition des Éléments d'Euclide est le fait qu'il n'existe que deux uniques géométries, celle du plan euclidien, et celle de l'espace euclidien.
Elle se traduit par le statut donné au cinquième postulat d'Euclide, dit postulat des parallèles, équivalent à l'énoncé donné plus bas de l'axiome des parallèles. Si, comme on l'a cru jusqu'au début du l'unicité de la géométrie euclidienne est vraie, alors le cinquième postulat ne serait qu'un théorème, encore à l'état de conjecture. Il ne manquerait que le talent d'un mathématicien pour la démontrer, mais la proposition serait vraie et son statut de postulat ne serait que provisoire.
thumb|left|Il existe une infinité de droites qui, comme d1, d2 et d3, passent par le point M et sont parallèles à la droite D. Exemple de géométrie hyperbolique ne respectant pas le d'Euclide. Mais lorsque Hilbert axiomatise la géométrie euclidienne, on sait déjà qu'il y a des géométries qui ne respectent pas le . Dans son programme d'Erlangen, Felix Klein ordonne les différentes géométries : les espaces de Nikolaï Lobatchevski et Bernhard Riemann ne vérifient pas le .
D'autres cas sont connus : Klein a construit un espace, celui de la figure qui respecte le cinquième postulat, mais qui n'est pas orientable. Dire qu'un espace est « orientable » signifie que la droite et la gauche existent. Dans un espace euclidien, une main droite et une main gauche ne sont jamais superposables, il est impossible de les faire coïncider sans utiliser une symétrie, c’est-à-dire une transformation équivalente à celle d'un miroir. La figure du paragraphe montre que cet état de fait n'est pas vrai dans toutes les géométries. Ainsi, la règle de la figure, jaune sous le plan et rouge au-dessus, par un mouvement continu devient rouge sous le plan et jaune au-dessus. Ce qui est impossible dans un plan euclidien.
Analyse de Hilbert Ces présuppositions ont été mises en évidence à la fin du par Pasch et Hilbert. Celui-ci a donné, avec Les fondements de la géométrie, un exposé axiomatique complet et rigoureux, s'attachant à clairement identifier tous les axiomes implicitement utilisés dans la géométrie traditionnelle.
Angle et longueur Une des notions fondamentales de la théorie d’Euclide est donc celle d’égalité, ou congruence entre figures. Deux figures sont égales si elles peuvent représenter deux positions différentes d’un même corps rigide. Pour savoir si deux distances AB et CD sont égales, on peut repérer deux points E et F sur une règle rigide, et s’assurer que EF peut être ajusté à la fois sur AB et sur CD. Cela conduit à un problème de circularité : au sens géométrique, une règle est rigide lorsque les distances entre ses points ne varient pas au cours d'un déplacement. Mais pour savoir que deux distances sont égales, on se sert d’un corps rigide qu'on déplace.
David Hilbert, dans ses Fondements de la géométrie, mettra en évidence ce cercle vicieux. Pour y remédier, il introduit de nouveaux axiomes dévoilant les présupposés implicites d'Euclide. Ces axiomes donnent les propriétés qu'on souhaite voir vérifiées par des figures congruentes. Par exemple, on souhaite que la règle de transitivité soit respectée : si AB et CD ont la même longueur, et que CD et EF ont aussi la même longueur, alors AB et EF doivent avoir même longueur. Par ailleurs, un des axiomes de Hilbert relie congruence de segments et congruence d'angles et constitue le premier cas d'égalité des triangles : si [AB] est congruent à [A'B'], [AC] à [A'C'] et l'angle BAC à l'angle B'A'C', alors [BC] est congruent à [B'C']. À noter que cette propriété, qui est un théorème chez Euclide, est devenue un axiome chez Hilbert. C'est qu'Euclide suppose implicitement que les déplacements conservent la congruence. Cette supposition, mise à jour par Hilbert, revient en fait à admettre la validité du théorème. Hilbert déduit de cet axiome les autres cas d'égalité des triangles, l'existence de l'angle droit et la congruence entre eux de tous les angles droits, cette dernière propriété étant un axiome chez Euclide.
Nombre et géométrie chez Hilbert Le choix axiomatique de Hilbert, ne fait pas appel aux nombres. Des deux axiomes de continuité, l'un correspond à la propriété archimédienne, l'autre à la complétude du corps des réels. Ces deux axiomes assurent que « la géométrie ainsi construite est identique à la géométrie cartésienne » (, traduction Rossier), en particulier une droite représente la droite réelle. Le corps des réels est, en théorie des ensembles, l'unique corps archimédien complet.
Cependant Hilbert montre, au chapitre III de son ouvrage, qu'il est possible sans faire appel aux axiomes de continuité, d'« établir la théorie euclidienne des proportions ». il se fonde sur les axiomes d'incidence, d'ordre, et des parallèles (I.1 à 3), II, III et IV) de la géométrie plane, et démontre pour cela le théorème de Pappus (appelé par Hilbert théorème de Pascal, en tant que cas particulier de celui-ci). Le théorème de Pappus permet de définir un « calcul segmentaire » qui satisfait les propriétés de corps commutatif.
Au chapitre V il montre qu'il est possible d'introduire un calcul segmentaire fondé sur le théorème de Desargues, sans utiliser les axiomes de congruence (groupe III). Les axiomes d'ordre ne sont pas utilisés pour établir le calcul, mais seulement pour ordonner le système de nombre obtenu commentaire de Bernays., dont la multiplication peut ne pas être commutative. C'est-à-dire que les axiomes d'incidence et l'axiome des parallèles, correspondent à une géométrie construite sur un corps gauche (commutatif ou non), et Hilbert montre qu'une géométrie construite sur un « système arguésien de nombres » (corps gauche ordonné) vérifie les axiomes d'incidence d'ordre et de parallélisme (voir plan affine arguésien pour une présentation modernisée due à Emil Artin).
Hilberttoujours au chapitre V, montre que le théorème de Desargues nécessite, si on se restreint aux axiomes d'incidence et de parallélisme, d'utiliser l'espace. L'autre possibilité est d'utiliser les axiomes de congruence (c'est une conséquence du chapitre III, le théorème de Desargues étant conséquence du théorème de Pappus, par le théorème d'Hessenberg).
Géométries non archimédiennes Hilbert montre que l'axiome du premier cas d'égalité des triangles ne peut se déduire des autres axiomes. On peut en effet définir une géométrie non-archimédienne vérifiant tous les axiomes de la géométrie de Hilbert sauf le premier cas d'égalité des triangles. Dans cette géométrie : On ne dispose pas de l'inégalité triangulaire. Les cas d'égalité des triangles ne sont plus valables. On peut avoir un triangle ayant deux angles égaux, mais dont les deux côtés ne sont pas égaux. La symétrie par rapport à une droite ne conserve pas nécessairement les longueurs. La notion d'aire d'un triangle (base × hauteur/2) n'est plus définie. On peut trouver deux carrés équidécomposables (i.e. qui peuvent être décomposés en triangles congruents), dont l'un est intérieur à l'autre.
Les axiomes Hilbert présente ses axiomes en les accompagnant de théorèmes et de définitions. Ses axiomes ne sont pas conçus pour être présentés isolément. Ils utilisent certaines définitions, qui s'appuient sur des axiomes précédemment introduits, ou des théorèmes obtenus à partir de ceux-ci. Ainsi les notions de segment, de demi-droite, d'angle (de demi-droites), de triangle sont introduites au fur et à mesure de l'exposé, et ne font pas partie des notions primitives.
Hilbert introduit trois types d'objets primitifs. Ces objets ne sont pas définis, il s'agit de point, de droite et de plan.
Certaines relations entre ces objets sont décrites par les axiomes, regroupés en cinq groupes : l'incidence (ou association, ou appartenance), l'ordre, les parallèles, la congruence, et la continuité.