La fonction gamma est une fonction spéciale importante en mathématiques . Ses valeurs particulières peuvent être exprimées sous forme fermée pour de valeurs entières, demi-entières et certaines autres valeurs rationnelles, mais aucune expression simple n'est connue pour les valeurs aux points rationnels en général. D'autres arguments fractionnaires peuvent être approchés par des produits infinis efficaces, des séries infinies et des relations de récurrence.
Entiers et demi-entiers Pour les arguments entiers positifs, la fonction gamma coïncide avec la factorielle, par la formule classique :
ce qui permet d'établir
et ainsi de suite. Pour les entiers non positifs, la fonction gamma n'est pas définie.
Pour les demi-entiers positifs où est un entier impair supérieur ou égal à 3, les valeurs de la fonction sont données exactement par
ou de manière équivalente, pour les valeurs entières non négatives de :
où désigne la double factorielle. En particulier,
et par la formule des compléments ,
Argument rationnel général Par analogie avec la formule du demi-entier,
où désigne la ième multifactorielle de . Numériquement,
.
Comme tend vers l'infini,
où est la constante d'Euler-Mascheroni et désigne l'équivalence asymptotique .
On ne sait pas si ces constantes sont toutes transcendantes, mais et ont été montrées comme transcendantes par Gregory Chudnovsky. La constante est aussi connue depuis longtemps pour être transcendant, et Youri Nesterenko a établi en 1996 que , et sont algébriquement indépendants. Pour au moins un des deux nombres et est transcendant.
Le nombre est liée à la constante de Gauss par
Borwein et Zucker ont découvert que peut être algébriquement exprimé en termes de of , , , et où est une intégrale elliptique complète de première espèce. Cela permet d'approcher efficacement la fonction Gamma pour des valeurs rationnelles par un algorithme de calcul de moyenne arithmético-géométrique à convergence quadratique. Par exemple :
Aucune relation similaire n'est connue pour ou d'autres dénominateurs.
En particulier, en notant AGM() la moyenne arithmético-géométrique, on a :
D'autres formules incluent les produits infinis
et
où est la constante de Glaisher-Kinkelin et est la constante de Catalan .
Les deux représentations suivantes pour ont été données par Mezö:
et
où et sont deux des fonctions thêta de Jacobi.
Il existe également un certain nombre d'intégrales de Malmsten pour certaines valeurs de la fonction gamma:
Produits Certaines identités de produits incluent :
De façon plus générale :
De ces produits peuvent être déduites d'autres valeurs, par exemple, des équations précédentes pour , et , peut être déduit :
D’autres relations rationnelles incluent:
et bien d'autres relations pour pour d diviseur de 24 ou 60.
Les quotients gamma avec des valeurs algébriques doivent être « équilibrés » dans le sens où la somme des arguments est la même (modulo 1) pour le dénominateur et le numérateur.
Un exemple plus sophistiqué :
Arguments imaginaires et complexes La fonction gamma à l' unité imaginaire donne , :
Elle peut également être donnée en termes de la fonction de Barnes :
Curieusement, apparaît dans l'évaluation intégrale ci-dessous :
Ici désigne la partie fractionnaire .
En raison de la formule des compléments d'Euler et du fait que , il existe une expression pour le module au carré de la fonction Gamma évaluée sur l'axe imaginaire :
L'intégrale ci-dessus se rapporte donc à la phase de .
La fonction gamma avec d'autres arguments complexes renvoie
Autres constantes La fonction gamma a un minimum local sur l'axe réel positif en
avec la valeur
.
L'intégration de la fonction gamma réciproque le long de l'axe réel positif donne également la constante de Fransén-Robinson .
Sur l'axe réel négatif, les premiers maxima et minima locaux (ce qui correspond aux zéros de la fonction digamma ) sont :
Les seules valeurs de pour lesquelles sont et ... .
Voir aussi
Formule de Chowla-Selberg
Références
Lectures complémentaires
X. Gourdon & P. Sebah. Introduction to the Gamma Function
Catégorie:Constante mathématique Catégorie:Fonction gamma ou associée Catégorie:Pages avec des traductions non relues