En mathématiques, la somme des n premiers carrés, qui est le n-ième nombre pyramidal carré, s'exprime par un polynôme de degré 3 : . On peut retenir que est égale à fois la somme des premiers entiers.
Cette identité constitue un cas particulier de la formule de Faulhaber.
Les valeurs de pour les premiers entiers naturels sont : ().
Historique
Démonstrations
Preuve par récurrence Cette démonstration nécessite de connaitre la formule à l'avance.
On constate que cette propriété est vraie pour ; puis on suppose (hypothèse de récurrence) que . Alors : , ce qui achève la récurrence.
Preuves visuelles Dans son livre sur les preuves sans mots, Nelsen répertorie 9 preuves visuelles de calcul de la somme des premiers carrés.
Par exemple, il représente la somme sous forme de trois escaliers :
Preuve par somme télescopique Elle utilise le fait que .
Par télescopage, .
Mais .
Donc , d'où la formule.
Preuves par interversion de signes somme
1) Par interversion des signes de sommation, on a : .
En changeant en , on obtient : , d'où , ce qui donne la formule voulue.
2) On sait que .
Donc de nouveau par interversion, .
En changeant en , on obtient :, d'où .
Preuve algébrique La suite est la solution s'annulant en 0 de la récurrence linéaire avec second membre polynomial .
On cherche une solution polynomiale de degré 3 de la forme , ce qui mène à la relation : , puis au système linéaire : , de solution ; on obtient la solution sous forme développée.
Preuve combinatoire On peut démontrer cette identité par un raisonnement combinatoire utilisant une preuve par double dénombrement.
Pour , on définit l'ensemble : .
Premier dénombrement
On considère l'ensemble des triplets de tel que . Alors, comme il existe possibilités pour , le nombre total de tels triplets est de . De la même manière le nombre de triplets tels que est de . Ainsi en continuant le raisonnement on trouve que : Deuxième dénombrement
On va maintenant distinguer les cas en fonction des relations d'égalités entre :
Cas 1 :
Dans ce cas là, il y a possibilités. En effet une fois choisis les 2 nombres, le plus grand des 2 sera la valeur de et l'autre la valeur commune de .
Cas 2 :
On choisit 3 entiers distincts dans : choix. Le plus grand ira en . Les 2 autres seront assignés librement aux positions .
Le nombre total de triplets de ce sous-cas est donc :
Ainsi :
D'où la formule.
Ce résultat est un cas particulier de celui donnant les sommes des premières puissances en fonction des nombres de surjections.
Notes et références
Voir aussi
Articles connexes Algèbre géométrique Carré parfait Somme (arithmétique) Somme des n premiers cubes Formule de Faulhaber, qui donne une expression de pour tout
Liens externes
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