En mathématiques, le développement en série de Pierce d'un nombre réel strictement compris entre 0 et 1 est une écriture de ce nombre utilisant une suite de nombres entiers. Il a été découvert par T. A. Pierce (le nom a cependant été attribué par Jeffrey Shallit) et permet de retrouver des propriétés similaires à celles du développement en fraction continue, tout en permettant d'approcher le réel limite de façon plus efficace.
Définition et propriétés En 1938, Lehmer remarque que la plupart des développements de nombres se basent sur l'itération suivante, pour une fonction bien choisie :
Par exemple, donne le développement en base ; donne le développement en fraction continue ; donne le développement en série de Engel.
En 1929, Pierce utilise la fonction définie par
Existence et unicité du développement Tout nombre réel strictement compris entre 0 et 1 s'écrit de manière unique sous la forme où les forment une suite strictement croissante finie ou infinie d'entiers strictement positifs ; la suite est finie (cas où ) si et seulement si le nombre est rationnel (et pour l'unicité il faut ajouter la condition ) ..
Construction du développement Développement d'un nombre rationnel Pour rationnel strictement compris entre 0 et 1, la suite du développement s'obtient à partir d'un algorithme utilisant des divisions euclidiennes successives, comme pour l'algorithme d'Euclide pour et .
Initialisation On pose et . Récurrence À l'étape : est le quotient de la division euclidienne de par est le reste de cette division
L'algorithme s'arrête quand le reste est nul, ce qui arrive forcément, la suite étant strictement décroissante.
La division euclidienne s'écrit donnant .
On obtient , qui se développe en .
On l'applique pour . Étape Diviseur Division euclidienneQuotient Reste 01137 = 11 × 3 + 4341437 = 4 × 9 + 1912137 = 1 × 37 + 0370 : Fin de l'algorithme
Soit
Remarque : les pour étant strictement décroissants et commençant par une division par , le nombre de termes du développement est .
Par exemple, pour : , et pour : :.
Note : on a également mais ce développement viole la condition .
Développement d'un nombre irrationnel Pour irrationnel strictement compris entre 0 et 1, la suite du développement s'obtient par récurrence.
Initialisation On pose . Récurrence À l'étape :
.
Comme est un irrationnel compris entre 0 et 1, n'est jamais nul et le processus est infini.
On l'applique pour . Étape Nombre Partie entière Itéré 01/ ≈ 0,318309...30,04507304...10,04507304...220,0845249...20,0845249...1180,00174856...30,00174856...3830,00157478...
Soit : : la suite est répertoriée comme . D'autres suites pour des constantes classiques sont données sur le site de l'OEIS :
: .
Formule de Shallit Cette formule donne le développement de Pierce des nombres quadratiques de la forme : où est un entier .
La suite étant définie par et , la suite des coefficients du développement est donnée par : .
Par exemple, pour on obtient le développement de vu ci-dessus qui a donc pour coefficients : ; on verra dans de nombreuses propriétés de la suite .
Notes et références
Voir aussi Bibliographie
Articles connexes Approximation diophantienne Fraction continue Développement en série de Engel Développement en cotangente continue de Lehmer
Liens externes
Pierce Catégorie:Fraction continue