En physique, la limite continue, ou limite du continuum, est l'état limite d'un système quand le nombre de ses tend vers l'infini tandis que son volume reste constant.
Dans un , la limite continue est l'état limite du modèle quand la taille de la maille du réseau tend vers zéro.
Histoire La relation conceptuelle entre les représentations (atomistique, en physique) et a été étudiée d'un point de vue théorique en mécanique et en thermodynamique dès la fin du , notamment par Boltzmann.. Le passage de l'une à l'autre est aussi une question étudiée en mathématiques à la même époque, elle est notamment au cœur du sixième problème de Hilbert.. Le problème reste d'actualité.
La question d'une analyse correcte de la limite du continuum a été abordée dans différents domaines scientifiques. D'un point de vue physique, elle est importante pour une déduction correcte des lois thermodynamiques macroscopiques, à partir du cadre mécanique statistique ou de la théorie statistique des champs, et pour l'approche multi-échelles en mécanique des matériaux. Des concepts mathématiques cruciaux sont liés à ce problème, les théories de l'homogénéisation et des Γ-convergences constituant des cadres théoriques de limites continues homogénéisées, à partir de microstructures discrètes. En particulier, le concept de Γ-limite, introduit par le mathématicien italien Ennio De Giorgi, aide à résoudre l'important problème physique de la détermination des fonctionnelles d'énergie limite ayant comme minima globaux la limite des minima globaux d'énergie des problèmes discrets..
Limite continue vs limite thermodynamique Le passage à la limite continue ou à la limite thermodynamique sont deux façons différentes d'envisager le passage d'un « petit » à un « grand » système : le passage à la limite continue consiste à considérer un nombre croissant de particules dans un volume constant. Avec un rééchelonnement correct des paramètres du système, l'énergie totale reste finie tandis qu'est perdue la structure discrète du système. La description correcte de l'énergie cinétique et de l'entropie conduit à un comportement divergent dû au théorème d'équipartition ; cette limitation est résolue en redimensionnant les constantes de Planck et de Boltzmann.. La limite continue, obtenue à partir de la théorie moléculaire de l'élasticité de Navier et Cauchy, est discutée en détail dès 1892 dans le traité de Love sur la théorie mathématique de l'élasticité. ; le passage à la limite thermodynamique consiste aussi à considérer un nombre croissant de particules, mais à densité numérique constante (nombre par unité de volume). On détermine alors l'équation d'état et les lois de comportement à partir de l'évaluation de la valeur limite de l'énergie libre par unité de volume. Cette approche est celle de la théorie cinétique des gaz dès 1867 et le cadre théorique des transitions de phase à l'équilibre.. Cette approche a l'avantage de conserver l'architecture atomistique réelle du système, en revanche on perd les effets des conditions aux limites et il est difficile de comparer l'énergie totale (croissante vers l'infini) à l'énergie des phénomènes locaux (interfaces, défauts).
Notes et références
Voir aussi Bibliographie
Articles connexes
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