En algèbre, le groupe symétrique généralisé est le produit en couronne du groupe cyclique d'ordre m par le groupe symétrique d'ordre n.
Exemples
Pour le groupe symétrique généralisé est exactement le groupe symétrique ordinaire : Pour on peut réaliser le groupe cyclique d'ordre 2 sous forme multiplicative () et identifier le groupe symétrique généralisé avec le groupe des permutations signées.
Théorie des représentations Le groupe admet une représentation naturelle par des matrices monomiales dont les coefficients non nuls sont des racines m-ièmes de l'unité :
Cette représentation étant fidèle, elle permet de voir le groupe symétrique généralisé comme un groupe de réflexions complexe. En effet, il est engendré par les pseudo-réflexions
où est une racine primitive -ième de l'unité.
Plus largement, la théorie des représentations a été abondamment étudiée depuis ; voir les références dans . Comme pour le groupe symétrique, les représentations peuvent être construites en termes de modules de Specht ; voir .
Homologie Le premier groupe d’homologie de – concrètement, l'abélianisé – est (pour m impair, c'est isomorphe à ). En effet, comme les facteurs sont tous conjugués, ils ont tous la même image dans un groupe abélien (la conjugaison est triviale dans le groupe abélien), le plus grand possible étant , tandis que la signature envoie le groupe symétrique sur Concrètement, on envoie un élément du produit en couronne sur . Comme les et sont indépendants et engendrent le groupe, l'abélianisé est bien déterminé.
Le deuxième groupe d’homologie – classiquement appelé le multiplicateur de Schur – est déterminé dans :
On peut remarquer qu'il dépend de n et de la parité de m : on a et si bien que l'on retrouve les multiplicateurs de Schur du groupe symétrique et du groupe des permutations signées.
Notes et références
Catégorie:Permutation