La statique du solide est la branche de la statique étudiant l'équilibre des pièces dans un mécanisme. C'est un maillon essentiel dans le dimensionnement des systèmes mécaniques réels.
Statique du point et statique du solide
Les simplifications de la mécanique du point reposent sur le fait que le point est invariant par rotation, et que toutes les forces sont appliquées au point matériel. Alors les forces suffisent à modifier sa position.
Pour les solides, constitués d'une infinité de points matériels, les déplacements possibles, appelés aussi degrés de liberté, sont de deux natures : translations (trois directions principales) et rotations (autour de ces trois directions). Alors que les translations ne peuvent être provoquées que par des forces, les rotations sont générées par des moments de ces forces, ou autres couples de force.
Quand l'équilibre d'un point ne nécessite l'établissement que de trois relations algébriques (équation vectorielle des forces à trois dimensions), celui du solide demande alors la considération de trois équations supplémentaires (équation vectorielle des moments). Le principe fondamental de la statique se compose alors du théorème de la résultante (somme des forces nulle) et du théorème du moment (somme des moments nulle).
L'étude de l'équilibre d'un solide nécessite toujours la considération de ces deux théorèmes, même si certains cas simples, traités en mécanique du point, semblent être résolus avec une seule des deux parties. En règle générale, il n'est pas possible de traiter séparément les deux aspects (forces et moments): il s'agit bien d'un problème complexe à six dimensions.
D'autre part, la statique du solide, et plus généralement des mécanismes, prend en considération les « efforts transmissibles » dans une liaison mécanique. L'étude de ces liaisons donne a priori et sans équivoque certaines caractéristiques des forces et moments des actions entre solides. L'objectif étant la détermination complète de tous ces efforts inconnus.
L'objectif de la mécanique est la détermination de tous les efforts appliqués à un système, à partir de la connaissance d'une partie d'entre eux. En ce qui concerne les mécanismes, il s'agit en plus de connaître les charges subies dans toutes les liaisons. Le mécanicien n'a a priori aucune information sur la disposition réelle de ces efforts. Cependant, pour chaque liaison, dont on connait le comportement, certaines composantes (forces ou moments) sont nulles ou au contraire transmissibles. C'est ainsi qu'on peut dire que la réaction d'un support plan sur un pavé est une force obligatoirement perpendiculaire au contact s'il n'y a pas de frottement. Lorsque l'étude est terminée, on peut décrire chaque effort de liaison qui devient alors l'effort effectivement transmis.
Statique du solide dans les problèmes plans
Hypothèse des problèmes plans
Un solide est un volume, une portion d'espace à trois dimensions. Pourtant, dans un certain nombre de cas, on peut utiliser la géométrie plane pour résoudre les problèmes : lorsque les vecteurs force n'ont que deux composantes. Nous supposerons que ce plan est le plan (O, x, y ).
Cette simplification est possible si : les vecteurs force sont tous parallèles au plan (x, y ) ; les efforts sont appliqués de manière symétrique par rapport au plan (O, x, y ). Notons qu'un couple peut se décrire comme deux forces opposées. Comme les vecteurs forces sont dans le plan (x, y ), les vecteurs moments sont nécessairement d'axe z. On peut donc exprimer les moments comme un scalaire, positif si le vecteur moment est dans le sens de l'axe z, négatif dans le sens contraire.
Modélisation
Liaisons mécaniques Sous l'hypothèse de problème plan, les actions mécaniques transmissibles sont au nombre de trois : forces selon x et y, moment selon z. Il y a donc au plus trois degrés de liaison. certaines liaisons mécaniques deviennent ainsi équivalentes ; par exemple, une rotule peut transmettre les mêmes efforts qu'un pivot d'axe z.
On ne se sert donc en pratique que de trois liaisons mécaniques parmi les dix liaisons élémentaires : la liaison sphère-plan de normale parallèle au plan, ou liaison ponctuelle, ou appui simple, qui supprime une translation ; la liaison pivot d'axe perpendiculaire au plan, ou articulation, qui supprime les deux translations ; la liaison glissière d'axe parallèle au plan, qui ne laisse qu'une translation.
vignette|Mouvement plan.
Ces trois degrés de liaison servent à bloquer trois degrés de liberté : les translations selon x et y et la rotation selon z. C'est par exemple le cas du système bielle-manivelle en vue de bout de manivelle, du train que la vache regarde passer, du mécanisme d'une montre, … Par contre, il ne faut pas confondre l'hypothèse de problème plan en statique avec l'hypothèse de problème plan en cinématique ; l'hypothèse de problème plan en dynamique regroupant les deux.
Si les liaisons sont parfaites, alors nous disposons d'informations supplémentaires sur les efforts transmissibles dans ces liaisons, à savoir : liaison sphère-plan : le point d'application et la droite d'action connus ; l'intensité dépend des autres efforts ; liaison pivot : le point d'application est connu, la droite d'action passe nécessairement par ce centre, mais sa direction et l'intensité sont à déterminer ; liaison glissière : la direction de la force est connue, perpendiculaire à la translation autorisée ; l'intensité et le point d'application sont à déterminer ; remarquons que l'on peut aussi considérer que le point d'application est au centre et que la liaison transmet un couple.
Ces données sont à inscrire dans le bilan des forces extérieures à un solide. L'étude aboutira à l'identification de toutes les forces effectivement transmises (incluses dans l'ensemble des forces transmissibles) à savoir, pour chaque force, son point d'application, sa droite d'action, son sens et son intensité.
Méthode graphique
De nombreux problèmes plans peuvent se résoudre par une méthode graphique ; le seul cas problématique étant la présence d'un couple. Ces méthodes graphiques s'avèrent plus rapide que la méthode analytique, bien plus simple lorsque le nombre de forces est réduit, et finalement relativement précise (le précision dépendant de l'échelle adoptée).
Dans ce contexte, les actions mécaniques sont représentés par des vecteurs force. Ce qui amène à considérer pour chaque action : un point d'application ; une direction (donc une droite d'action) ; une intensité (orientée sur la droite d'action).
L'étude n'est terminée que si ces trois caractéristiques (point, droite et vecteur) sont définis pour chaque force. Quelques rares cas ne demandent pas une étude complète.
Lorsque le problème comprend un effort de type couple, alors la résolution est partiellement analytique.
Moments et couples de forces
Sous l'hypothèse de problème plan, l'expression du moment peut être modifiée. On ne considère plus les rotations autour d'un axe mais seulement dans la direction Z soit en fait autour d'un point (c’est-à-dire autour d'un axe de direction Z passant par le point considéré). Une seule composante étant non nulle, la représentation vectorielle devient scalaire.
Moment d'une force vignette
L'équilibre d'un solide signifie qu'il ne bouge pas (dans un référentiel donné) soit : aucune translation ; aucune rotation autour de quelque point (ou pivot) que ce soit.
On peut alors considérer la capacité d'une force à faire tourner le solide autour d'un point donné. Cette grandeur est appelée moment de force. Il n'y a pas nécessité de pivot réel. Ce moment dépend de plusieurs facteurs : l'intensité de la force, les positions relatives de la force et du point.
M(F) = +/- d . F (en )
où d est le bras de levier, c'est-à-dire la distance (minimale) entre le point et la droite d'action de la force. Le signe est apprécié suivant que la force tend à faire tourner dans le sens direct (x vers y) ou indirect (y vers x). Avec d'autres modèles tels que le torseur, le choix du signe ne se pose pas ; il est directement déduit des calculs, et son sens est lié à l'orientation de l'espace (trièdre direct).
Il est intéressant de voir à présent les cas de nullité du moment d'une force. De l'équation ci-dessus, on en déduit aisément deux : la force F est nulle. Sans intérêt puisqu'il n'y plus de force ; la distance d est nulle : ce qui signifie que le point de pivot se trouve sur la droite d'action. Cette propriété géométrique sera exploitée par la suite.
Couple de forces
Si deux forces F opposées (donc de même intensité), s'appliquent sur un même corps suivant deux droites d'action distinctes (donc strictement parallèles) et distantes de d, on imagine sans mal que ces forces se compensent, cependant l'équilibre du corps semble ne pas être assuré. Cette disposition est appelée couple de forces C.
Pour vérifier cela, en appliquant la méthode vue ci-dessus, calculons la somme des moments de ces 2 forces, en différents points de l'espace. Dans tous les cas cette somme a une même valeur :
C = - d . F
On appelle couple cette valeur indépendante du point de pivot considéré. Derrière l'appellation couple, les forces disparaissent (puisqu'elles se compensent). En réalité, dans la nature, un couple (sans forces pour le générer) n'existe pas. L'intérêt du couple est cette résultante nulle. Chacun aura fait l'expérience de desserrer une roue de voiture avec une manivelle (force unique et moment de force par rapport à l'axe de la vis) qui ripe facilement, ou avec une croix (2 forces opposées qui forment un couple) assurant non seulement une plus grande intensité de desserrage mais aussi une meilleure stabilité de l'outil. Dans un moteur électrique, le bobinage est tel qu'il existe toujours deux "bouts de fil" symétriquement disposés par rapport à l'axe de rotation et parcourus par des courants induisant deux forces de Laplace opposées, soit un couple élémentaire.
Plus généralement un couple est la somme non nulle de moments de forces dont la résultante s'annule. Pour la suite, chaque couple annoncé ne fera plus apparaître les forces qui le génèrent.
Étude de cas et résolutions
Cas d'équilibre à 2 forces vignette
Ce cas élémentaire permet de montrer comment un problème de statique ne dissocie pas forces et moments. Non seulement l'étude permet la détermination de l'ensemble des forces, mais aussi les conditions géométriques de l'équilibre. Pour cette étude de cas, comme pour les suivantes, le principe fondamental de la statique nous donne les relations suivantes : aucun mouvement de translation possible: somme des forces extérieures nulle ; aucun mouvement de rotation possible: somme des moments des forces extérieures nulle (moments calculés en un même point qui peut être choisi arbitrairement).
Soit l'étude d'un pendule : la figure donne une position quelconque. L'objectif est la détermination des conditions d'équilibre. Le bilan des actions extérieures nous donne : le poids appliqué au centre de gravité de valeur connue ; le pivot (ou articulation) parfait en A. la droite d'action passe par l'axe, mais est de direction inconnue.
L'équation d'équilibre relative aux forces donne donc: Ce qui définit l'action dans le pivot de façon univoque, les deux forces formant alors un couple. La position proposée (figure 2) n'est donc pas une position d'équilibre.
L'équation des moments, par exemple calculée au point A, nous donne:
soit
Ce qui revient à dire que A appartient à la droite d'action du poids. Nous aurions abouti à la même conclusion, peut être plus difficilement, en calculant les moments en n'importe quel point. En règle générale, le point de calcul des moments doit être choisi sur un critère de simplicité de calcul. Ici A ou G (centre de gravité) assurent l'annulation d'un des moments de force.
De ce fait les seules positions d'équilibre sont celles ou le pendule est vertical, en dessous (position stable) ou au-dessus de l'axe (position instable).