En mathématiques, la théorie de la mesure dans les espaces vectoriels topologiques se réfère à l'extension de la théorie de la mesure aux espaces vectoriels topologiques. Ces espaces sont souvent de dimension infinie, mais de nombreux résultats de la théorie de la mesure classique sont formulés pour des espaces de dimension finie et ne peuvent pas être directement transférés. Cela est déjà évident dans le cas de la mesure de Lebesgue, qui n'existe pas en général dans les espaces de dimension infinie.
L'article considère uniquement les espaces vectoriels topologiques, qui possèdent également la propriété de Hausdorff.
Introduction Dans les espaces vectoriels topologiques de dimension infinie, un problème topologique fondamental apparaît. Un espace vectoriel topologique est séparé et localement compact si et seulement s’il est de dimension finie. Un théorème d’Oxtoby implique que, sur un groupe polonais non localement compact, il n’existe pas de mesure de Borel σ-finie invariante à gauche . Selon un résultat de Gowrisankaran, pour les groupes topologiques séparés , si une mesure de Radon non triviale et invariante à gauche existe sur , alors est localement compact.
Cela a pour conséquence que, sur un tel espace , il n’existe en général pas d’analogue de la mesure de Lebesgue. On peut toutefois construire des mesures analogues si l’on affaiblit certaines propriétés de la mesure de Lebesgue (σ-finitude, σ-additivité, etc.) ou si l’on restreint les translations à des espaces de parties plus petits, par exemple aux ensembles cylindriques.
Les mesures gaussiennes sont souvent utilisées comme substitut, car elles existent sur de nombreux espaces localement convexes de dimension infinie et sont σ-additives ainsi que positives sur les ensembles ouverts, mais elles ne sont quasi-invariantes que sous les translations. Elles n’existent toutefois pas sur tous les espaces, c’est pourquoi les mesures cylindriques sont souvent privilégiées.
σ-algèbres Soit un espace vectoriel topologique, l'espace dual algébrique et l'espace dual topologique. Dans les espaces vectoriels topologiques, il existe trois σ-algèbres importantes : la tribu borélienne : générée par les ensembles ouverts de . la tribu cylindrique : générée par l'espace dual . la tribue de Baire : générée par toutes les fonctions continues . La σ-algèbre de Baire est également notée .
La relation suivante est vérifiée :
où est évident.
Tribu cylindrique Soient et deux espaces vectoriels en dualité, cela signifie qu’il existe une forme bilinéaire . Un ensemble de la forme
pour et est appelé ensemble cylindrique et si est ouvert, alors c'est un ensemble cylindrique ouvert. L'ensemble de tous les cylindres est et l'ensemble de tous les cylindres ouverts est . Si l'on prend le produit , cela ne produit qu'une algèbre. La σ-algèbre
est appelée σ-algèbre cylindrique. Les ensembles cylindriques et les cylindres ouverts génèrent la même σ-algèbre cylindrique, c'est-à-dire .
Pour la topologie faible , la σ-algèbre cylindrique est la σ-algèbre de Baire de .
Pourquoi on ne travaille pas uniquement avec la σ-algèbre borélienne On utilise la σ-algèbre cylindrique car la σ-algèbre borélienne peut poser des problèmes de mesurabilité dans les espaces de dimension infinie. Nous avons vu que la σ-algèbre cylindrique est engendrée par les cylindres ouverts. La σ-algèbre cylindrique contient toutes les réunions dénombrables de cylindres ouverts, tandis que la σ-algèbre borélienne est la σ-algèbre engendrée directement par la topologie , et elle contient donc des réunions arbitraires (éventuellement non dénombrables) d’ensembles ouverts. Il faut ainsi, dans le cas de la σ-algèbre borélienne, également gérer des unions non dénombrables de cylindres ouverts.
En lien avec les intégrales de fonctions continues, il est difficile voire impossible de les étendre à des ensembles boréliens arbitraires. Pour les espaces non séparables, il peut arriver que l'addition vectorielle ne soit plus mesurable par rapport à l'algèbre produit des σ-algèbres boréliennes car en général , tandis que pour la σ-algèbre cylindrique on a . Pour deux variables aléatoires et , cela signifie donc que la somme n’est plus nécessairement une variable aléatoire mesurable.
σ-algèbre de Baire La σ-algèbre de Baire est la plus petite σ-algèbre rendant toutes les formes linéaires continues mesurables. Les éléments de la σ-algèbre de Baire sont appelés ensembles de Baire et ne doivent pas être confondus avec les ensembles possédant la propriété de Baire.
La σ-algèbre de Baire est également engendrée par les ensembles de zéros ; en effet,
puisque et sont continues.
Quelques propriétés de la σ-algèbre de Baire : Soient et deux espaces topologiques munis de leurs σ-algèbres de Baire et . Si est continue, alors est -mesurable. Soit une famille d’espaces topologiques et leur espace produit. Alors . Si de plus les sont séparables et métrisables, on a .
Égalité des σ-algèbres Soit un espace vectoriel topologique et la topologie faible, alors est exactement la σ-algèbre de Baire de . Soit un espace localement convexe séparé et métrisable et la topologie faible. Alors , et sont équivalentes sous et .
Mesures Une façon de construire une mesure sur un espace de dimension infinie consiste à définir d’abord la mesure sur des espaces de dimension finie, puis à l’étendre aux espaces de dimension infinie comme un système projectif. Cela conduit à la notion de mesure cylindrique, qui, selon Israel Moiseevich Gelfand et Naum Yakovlevich Vilenkin, trouve son origine chez Andreï Nikolaïevitch Kolmogorov .
Mesures cylindriques Soit un espace vectoriel topologique sur et son espace dual algébrique. De plus, soit un espace vectoriel de fonctionnelles linéaires sur , c’est-à-dire .
Une fonction définie sur les ensembles
est appelée mesure cylindrique si, pour tout sous-ensemble fini avec , la restriction
est σ-additive, c’est-à-dire que est une mesure.
Soit . Une mesure cylindrique sur est dite d’ordre faible (ou de type faible ) si le -ième moment existe, c’est-à-dire :
pour tout .
Mesure de Radon Toute Mesure de Radon induit une mesure cylindrique, mais la réciproque n’est pas vraie.
Soient et deux espaces localement convexes. Un opérateur est appelé opérateur -radonifiant si, pour une mesure cylindrique d’ordre sur , l’image est une mesure de Radon d’ordre sur .
Espérance et opérateur de covariance Soit une mesure d’ordre faible sur l’espace vectoriel topologique . Alors l’espérance existe si, pour tout fonctionnel continu , on a .
Supposons maintenant que soit d’ordre faible . Alors l’opérateur de covariance de est défini par
pour . Autrement dit, est un élément du espace bidual, c’est-à-dire un fonctionnel sur , et l’on a
Quelques résultats Il existe de nombreux résultats sur les conditions permettant d’étendre une mesure cylindrique à une mesure de Radon, comme le Minlos theorem et le Sazonov theorem.
Soit un sous-ensemble équilibré, convexe, borné et fermé d’un espace localement convexe , alors désigne le sous-espace de généré par . Un sous-ensemble équilibré, convexe et borné d’un espace séparé localement convexe est appelé «ensemble de Hilbert» si l’espace de Banach possède une structure d’espace de Hilbert, c’est-à-dire que la norme peut être déduite d’un produit scalaire et est complet.
Théorème de Sazonov-Badrikian Soit un espace localement convexe séparé quasi-complet et son dual muni de la topologie de convergence uniforme sur les parties compactes de . On suppose que chaque sous-ensemble de est contenu dans un ensemble de Hilbert compact, convexe et équilibré. Une fonction de type positif sur est la Transformation de Fourier d’une mesure de Radon sur si et seulement si la fonction est continue pour la topologie de Hilbert-Schmidt associée à la topologie de .
Théorème de Minlos-Sazonov Une variante du théorème est le Minlos–Sazonov theorem, qui stipule qu’une mesure cylindrique est σ-additive et de Radon si sa transformation de Fourier est continue en zéro dans la topologie de Sazonov.
Références
Catégorie:Espace vectoriel topologique