Le papillon de Hofstadter est une représentation graphique des niveaux d'énergie autorisés aux électrons d'un réseau cristallin soumis à l'action d'un champ magnétique, pour des valeurs rationnelles d'un certain . C'est une figure fractale.
vignette| Papillon de Hofstadter.
Histoire En 1974, Douglas Hofstadter, alors étudiant en physique à l'université de l'Oregon, suit son directeur de thèse à Ratisbonne (Bavière, Allemagne), où un groupe de théoriciens étudie les niveaux d'énergie d'un électron dans un réseau cristallin placé près d'un aimant, qui dépendent d'un sans dimension proportionnel au flux magnétique. Une méthode numérique étant disponible pour calculer ces niveaux quand est rationnel, Hofstadter entreprend de faire ce calcul systématiquement en programmant un ordinateur HP 9820A, et reporte les résultats dans un diagramme où est un nombre sans dimension proportionnel à l'énergie de l'électron. Le résultat est une figure fractale dans laquelle apparaît une zone blanche (vide de résultats) ayant la forme d'un papillon.. Ces résultats sont publiés en 1976..
Pour les valeurs irrationnelles de , Douglas Hofstadter puis Barry Simon et Mark Kak émettent l'hypothèse que les niveaux d'énergie forment un ensemble de Cantor. Cette conjecture, dite « problème des dix martinis » (en raison d'une promesse faite à qui pourrait la prouver), est démontrée en 1982 pour certains types de nombres irrationnels, puis de façon générale en 2005 mais avec certaines hypothèses simplificatrices concernant l'environnement de l'électron..
Le papillon de Hofstadter est retrouvé expérimentalement en 2013.. En 2023, une preuve générale du problème des dix martinis est publiée, applicable dans de nombreux contextes différents..
Notes et références
Voir aussi
Articles connexes Effet Hall quantique entier
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