En mathématiques, lintégrale de Fermi-Dirac, nommée d'après Enrico Fermi et Paul Dirac, pour un indice j  entier positif et un réel par :

On la désigne aussi sous le nom dintégrale de Fermi-Dirac incomplète. Lintégrale de Fermi-Dirac complète vaut

où est le polylogarithme d'ordre s.

Propriétés On a la relation de récurrence avec les dérivées:

ce qui permet d'étendre les définitions aux indices j négatifs. Des notations différentes pour existant dans la littérature, par exemple en omettant le facteur normalisant , l'article présent reprend la définition de NIST DLMF.

On a ainsi une définition alternative du polylogarithme incomplet, avec:

ce qui peut être utilisé pour établir l'identité :

avec désignant la fonction Gamma et la fonction gamma incomplète.

Valeurs spéciales On a, pour j = 0:

Pour , on a en particulier

où est le fonction eta de Dirichlet.

Applications Les intégrales de Fermi-Dirac d'indice semi-entier apparaissent dans les équations d'état de gaz non relativistes.

Voir aussi Statistique de Fermi-Dirac Polylogarithme Polylogarithme incomplet Fonction Gamma Développement de Sommerfeld

Références

Liens externes GNU Scientific Library - Reference Manual Notes on Fermi-Dirac Integrals Section in NIST Digital Library of Mathematical Functions

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