Un carré magique de carrés est un carré magique dont les éléments sont des carrés parfaits. Un problème mathématique non résolu consiste à déterminer un tel carré d'ordre 3 avec des éléments distincts. Ce problème a été posé anonymement pour la première fois par Martin Labar en 1984, avant d'être inclus en 1994 dans l'ouvrage de Richard Guy Unsolved problems in number theory ()..
Il est devenu célèbre chez les mathématiciens amateurs quand Martin Gardner l'a republié en 1996 et a offert à la première personne qui construirait un tel carré. D'autres prix récompensant l'obtention d'une solution ont été offerts ensuite.
Définitions Un carré magique est un tableau carré d'entiers dont les sommes des éléments d'une ligne, d'une colonne et d'une diagonale sont toutes égales. L'ordre du carré est le nombre d’éléments d'une ligne ou d'une colonne. Un carré semi-magique est un carré magique dont les sommes des éléments des lignes et des colonnes sont égales, mais pas forcément égales à celles des deux diagonales.
Problème du carré magique de carrés d'ordre trois Il consiste à déterminer s'il est possible de construire un carré magique d'ordre trois dont tous les éléments sont des carrés parfaits distincts.
On demande que les carrés soient distincts car il existe des solutions simples sans cette clause, comme : 5²1²7²7²5²1²1²7²5² car .
En utilisant la forme générale de Lucas d'un carré magique d'ordre 3 :
il s'agit donc de déterminer trois entiers , vérifiant , , tels que soient 9 carrés parfaits distincts.
Les recherches exhaustives de solutions se sont avérées infructueuses et suggèrent que, si une solution existe, elle serait composée de nombres supérieurs à ..
Duncan Buel a même montré qu'il n'existe pas de carré magique incomplet du type ci-dessous formé de carrés distincts, carré qu'il appelle un sablier :
avec .
Anthony Várilly-Alvarado, professeur de mathématiques à l'université Rice, a exprimé ses doutes quant à l'existence d'un tel carré magique..
Autres formulations Il a été démontré que ce problème est équivalent aux problèmes suivants:
Déterminer trois carrés parfaits distincts tel que soient des carrés parfaits distincts. Ceci vient de la forme générale d'un tel carré :
Déterminer trois triplets de carrés parfaits en progression arithmétique, ayant même raison tous les trois, et tels que leurs termes centraux soient eux-mêmes en progression arithmétique. Déterminer trois triangles rectangles rationnels de même aire tels que les carrés des hypoténuses soient en progression arithmétique. Déterminer une courbe elliptique , où est un nombre congruent, ayant trois points rationnels , , , de sorte que chaque point soit « double » d'un autre point rationnel sur la courbe (« double » au sens de la structure de groupe pour les points sur une courbe elliptique), et , et sont en progression arithmétique.
Tentatives approchées Plusieurs tentatives de construction d'un tel carré magique de carrés ont été menées par des mathématiciens amateurs. Elles présentent la particularité que toutes les clauses sont respectées sauf une, ou deux.
Le carré de Sallows Suite à l'offre de prix proposée par Gardner en 1996 à quiconque trouverait un tel carré magique de carrés, Lee Sallows publia sa tentative dans The Mathematical Intelligencer. Son carré présente le seul défaut que l'une des diagonales n'a pas la somme commune (il n'est que semi-magique). On peut par contre remarquer que la somme commune est elle-même un carré.. +Carré de Sallows 127 46 58 147 2 113 94 147 74 82 97 147 147 147 147 147 38307
Carré de Bremner En 1999, Andrew Bremner a publié sa tentative de résolution du problème, ainsi que des recherches complémentaires sur ces carrés magiques de carrés. La tentative de Bremner est incomplète en ce que le carré est magique mais possède un élément non carré. +Carré de Bremner 373 289 565 541875 360721 425 23 541875 205 527 222121 541875 541875 541875 541875 541875 541875
Carré de Parker Le carré de Parker est une tentative de Matt Parker pour résoudre le problème en 2016. De nouveau, l'une des diagonales n'a pas la somme commune, et il présente de plus le défaut de présenter deux couples d'éléments identiques. +Carré de Parker 29 1 47 3051 41 37 1 3051 23 41 29 3051 4107 3051 3051 3051 3051
Carrés magiques de carrés d'ordre supérieur à trois Les carrés magiques de carrés d'ordres supérieurs à 3 sont connus depuis au moins 1770, lorsque Leonhard Euler a envoyé une lettre à Joseph-Louis Lagrange détaillant un carré magique de carrés d'ordre quatre. +Le carré magique de carrés d'Euler 68 29 41 37 17 31 79 32 59 28 23 61 11 77 8 49 Les carrés multimagiques sont des carrés magiques qui restent magiques après élévation de chaque élément à une certaine puissance. En 1890, Georges Pfeffermann a publié une solution à un problème qu'il avait posé concernant la construction d'un carré 2-multimagique d'ordre huit. +Carré 2-multimagique d'ordre 8 de Pfeffermann 56 34 8 57 18 47 9 31 260 33 20 54 48 7 29 59 10 260 26 43 13 23 64 38 4 49 260 19 5 35 30 53 12 46 60 260 15 25 63 2 41 24 50 40 260 6 55 17 11 36 58 32 45 260 61 16 42 52 27 1 39 22 260 44 62 28 37 14 51 21 3 260 260 260 260 260 260 260 260 260 260 260
Références
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