Le théorème de la limite monotone (parfois appelé théorème de convergence monotone) est un théorème d'analyse selon lequel les éventuelles discontinuités d'une fonction numérique monotone sont « par sauts » et les suites monotones possèdent une limite.
Énoncé pour les fonctions
Soient un intervalle réel ouvert non vide (borné ou non : ) et une fonction croissante. Alors, corollaires.. : admet en une limite à gauche, qui est finie si est majorée et qui vaut sinon ; admet en une limite à droite, qui est finie si est minorée et qui vaut sinon ; admet en tout point de une limite à gauche et une limite à droite, qu'on note respectivement et ; elles sont finies et vérifient .
Plus généralement, ne l'énoncent et le démontrent que pour , mais la preuve du cas général est identique : voir par exemple :
Le théorème analogue pour les fonctions décroissantes s'en déduit en remplaçant par ; il convient d'inverser le sens des inégalités et d'échanger « minorée » et « majorée » ainsi que « » et « ».
Énoncé pour les suites Lorsqu'on prend et dans l'énoncé général ci-dessus, on obtient :
Soit une suite croissante de réels. Alors, . Par conséquent : si la suite est majorée alors elle est convergente ; si la suite n'est pas majorée alors elle tend vers .
Le théorème analogue pour les suites décroissantes s'en déduit en remplaçant par .
Notes et références
Articles connexes Suite de Specker, exemple d'une suite de nombres rationnels qui est calculable, croissante et majorée, mais dont la limite n'est pas un nombre réel calculable. Théorème de la bijection (version forte), utilisant parfois le théorème de la limite monotone pour établir la continuité de toute surjection monotone d'un intervalle sur un intervalle.
Theoreme limite monotone Limite monotone