En théorie des nombres, la conjecture de Lander-Parkin-Selfridge concerne les solutions entières d'équations faisant intervenir des sommes de puissances de mêmes exposants. Ces équations généralisent celles considérées dans le dernier théorème de Fermat. La conjecture affirme que si la somme de certaines puissances -ièmes est égale à la somme d'autres puissances -ièmes, alors le nombre total de termes dans ces deux sommes est au moins égal à .

Contexte Les équations diophantiennes, telles que la version entière de l'équation qui apparaît dans le théorème de Pythagore, sont étudiées depuis des siècles. Le dernier théorème de Fermat affirme que pour des exposants supérieurs ou égaux à 3, l'équation n'admet aucune solution en entiers strictement positifs . En augmentant le nombre de termes de part et d'autre de l'équation et en autorisant des puissances supérieures à 2, Leonhard Euler proposa en 1769 que pour tous entiers et supérieurs ou égaux à 2, si la somme de puissances -ièmes d'entiers strictement positifs est elle-même une puissance -ième, alors est supérieur ou égal à .

En symboles, si où et sont des entiers strictement positifs, alors sa conjecture était que .

En 1966, un contre-exemple à cette conjecture d'Euler sur la somme de puissances a été trouvé par Leon J. Lander et Thomas R. Parkin pour :

.

Au cours des années suivantes, d'autres contre-exemples ont été trouvés, notamment pour . Ces derniers ont réfuté la conjecture quartique d'Euler, à savoir que n'admet pas de solutions entières strictement positives. La plus petite solution, trouvée en 1988, est

.

Conjecture de Lander-Parkin-Selfridge

Énoncé En 1967, LJ Lander, TR Parkin et John Selfridge ont émis l'hypothèse que si où sont des entiers strictement positifs pour tout et , alors .

Exemples dans le cas limite Petits exemples avec , donc (liés aux nombres taxicab généralisés) :

(connu d'Euler)

et

(trouvé par K. Subba Rao en 1934).

Cas m = 1 La conjecture implique, dans le cas particulier où , que si , l'équation n'a pas de solutions en entiers strictement positifs. vignette|Une décomposition du nombre de Platon donne une solution pour Exemples dans ce cas

Pour le cas particulier de , voici quelques exemples ; pour donné est la plus petite valeur de pour laquelle a une solution non trivialeQuoted in :

; (prouvé par le dernier théorème de Fermat et l'exemple suivant)

; (prouvé par le dernier théorème de Fermat et l'exemple suivant) (Roger Frye, 1988) avec :

(R. Norrie, 1911)

; avec : (Lander, Parkin, 1966) avec :

(Sastry, 1934, third smallest)

(aucune solution connue. En 2002, il n'existait aucune solution avec . )

Avec : (M. Dodrill, 1999)

Avec : (Scott Chase, 2000)

(aucune solution connue)

État actuel de la conjecture On ne sait pas si la conjecture est vraie, ni s'il existe des solutions non triviales qui seraient des contre-exemples, comme pour .

Voir aussi

Conjecture de Beal Conjecture de Fermat-Catalan

Liste de problèmes non résolus en mathématiques Problème de Prouhet-Tarry-Escott quadruplet pythagoricien Sommes de puissances, liste de conjectures et de théorèmes associés

Références

Liens externes

EulerNet : Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers Jaroslaw Wroblewski : Equal Sums of Like Powers

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