En analyse numérique un schéma non-oscillatoire pondéré ou schéma WENO (de l'anglais weighted essentially non-oscillatory) est un schéma appartenant une classe de schémas à haute résolution utilisés pour les équations aux dérivées partielles.

Ces méthodes ont été développées à partir des schémas ENO (essentially non-oscillatory) de Amiram Harten, Bjorn Engquist, Stanley Osher et Sukumar Chakravarthy en 1987.

Le premier schéma WENO est dû à Xu-Dong Liu, Stanley Osher et Tony Chan en 1994. En 1996, une version améliorée est due à Guang-Shan Jiang et Chi-Wang Shu.

Les schémas ENO

Pour la simplicité de la démonstration on suppose un maillage uniforme . Les points milieux sont notés dont les cellules de calcul sont . On définit la primitive :

On cherche le développement d'ordre en fonctions qui approxime cette fonction sur la cellule :

On peut ainsi construire des polynômes d'interpolation suivant le stencil :

Ainsi pour la reconstruction donne (approximation décentrée amont) :

La même opération sur le stencil donne (approximation centrée) :

De même pour (approximation décentrée aval) :

Le principe d'un schéma ENO est de choisir centrage ou décentrage en fonction de la valeur locale de la fonction : par exemple éviter de centrer sur une discontinuité. Ceci suppose de tester les trois approches dans chaque cellule de calcul et de choisir à partir d'un critère donné permettant d'estimer la variation totale de chacune des possibles solutions.

Cette approche peut être étendue aux maillages multidimensionnels, réguliers ou non, par exemple non-structurés.

Les schémas WENO

Dans ce type de schéma l'idée de base est d'utiliser toutes les solutions candidates en pondérant chacune d'entre elles.

Supposons que l'on choisisse un stencil . La reconstruction va donner :

Cette expression est une combinaison linéaire des valeurs ci-dessus :

Strictement les poids valent :

La méthode WENO consiste à remplacer ces poids par de nouveaux notés qui sont choisis à partir d'un « indicateur de régularité » tel que défini par :

Il s'agit d'une somme pondérée des normes des dérivées de chaque polynôme de reconstruction avec un facteur d'échelle permettant de rendre les formules explicites finales indépendantes de la taille de la grille .

Dans l'exemple choisi :

Les poids sont alors donné par :

est une quantité numérique petite pour éviter une éventuelle division par zéro.

La précision de l'approximation est d'ordre 5 en l'absence de discontinuité. Cette précision élevée est vraie pour tous les schémas WENO. En contrepartie ils sont assez dissipatifs et d'un coût élevé.

Voir aussi

Références

Catégorie:Équations différentielles numériques Catégorie:Mécanique des fluides