L'anniversaire de Cheryl est un casse-tête logique, plus précisément un problème de connaissance. L'objectif est de déterminer le jour de l'anniversaire d'une jeune fille nommée Cheryl à partir de quelques indices donnés à ses amis Albert et Bernard. Conçue par le Joseph Yeo Boon Wooi du de Singapour, cette énigme a été posée aux candidats des Olympiades de mathématiques des écoles de Singapour et d'Asie (SASMO) en 2015 et a été initialement mise en ligne par l'animateur de télévision singapourien Kenneth Kong. Elle est devenue virale en quelques jours et a même été diffusée sur les chaînes de télévision des principales villes du monde. Henry Ong, le fondateur des SASMO, a été interviewé par Chua En Lai et Yasmine Yonkers, présentateurs de l'émission FIVE de Mediacorp Singapour.

Origine Une première version du casse-tête « L'anniversaire de Cheryl », avec des noms et des dates différents, est apparue sur un forum en ligne en 2006. La version SASMO de la question a été publiée sur Facebook par l'animateur de télévision singapourien Kenneth Kong le et est rapidement devenue virale. Kong a publié l'énigme suite à une discussion avec sa femme, pensant à tort qu'il s'agissait d'une question de mathématiques pour un examen de primaire, destiné aux élèves de 10 à , alors qu'elle faisait en réalité partie des Olympiades de mathématiques des écoles de Singapour et d'Asie 2015, destinées aux élèves de , un fait que Kong a reconnu par la suite. Ces olympiades se sont déroulées le et ont rassemblé  venant de Singapour, de Thaïlande, du Vietnam, de Chine et du Royaume-Uni. Selon les organisateurs de SASMO, le quiz visait les 40 % meilleurs candidats et avait pour objectif de « sélectionner les meilleurs élèves ». Le directeur exécutif de SASMO a déclaré à la BBC qu’« il y a une place pour une forme de pensée logique et analytique, que ce soit sur le lieu de travail ou dans notre vie quotidienne ».

La question La question, qui est la d'une liste de 25 questions, se formule de la façon suivante :

Solution vignette|Les lignes A1 annulent les dates éliminées après la première remarque d'Albert, B les éliminations après la remarque de Bernard et A2 les éliminations après la deuxième remarque d'Albert, laissant le 16 juillet La bonne réponse à la question est le .

Les dates possibles peuvent être inscrites dans un tableau : Mai 15 16 19 Juin 17 18 Juillet 14 16 Août 14 15 17 La réponse peut être trouvée en éliminant progressivement les dates impossibles. C’est sous cette forme qu’Alex Bellos a présenté son résultat dans le journal britannique The Guardian: Albert : Je ne sais pas quand est l'anniversaire de Cheryl, mais je sais que Bernard ne le sait pas [non plus].

Albert ne connaît que le mois, et comme chaque mois peut avoir plusieurs dates, il est évident qu'il ignore la date de son anniversaire. La première partie de la phrase est donc une évidence dont on ne peut rien déduire de nouveau.

Le seul moyen pour Bernard de connaître la date en ne connaissant qu'un seul nombre serait que Cheryl lui ait dit 18 ou 19, car parmi les dix dates possibles, ce sont les seuls quantièmes qui n'apparaissent qu'une seule fois, le 19 en mai et le 18 en juin.

Pour qu'Albert sache que Bernard ne le sait pas, le mois que Chéryl a dit à Albert doit donc être juillet ou août, qui n'ont ni 18 ni 19 comme date possible.

Ligne 2) Bernard : Au début, je ne savais pas quand était l'anniversaire de Cheryl, mais maintenant je le sais.

Bernard en a déduit que le mois connu d'Albert est août ou juillet. S'il connaît la date complète, c'est que Cheryl lui a dit 15, 16 ou 17, car si elle lui avait dit 14, il n'aurait pas su s'il s'agissait d'août ou de juillet. Chacun des nombres 15, 16 et 17 désigne un mois précis, tandis que 14 peut désigner l'un ou l'autre.

Ligne 3) Albert : Alors je connais aussi la date d'anniversaire de Cheryl.

Albert en a donc déduit que les dates possibles sont le 16 juillet, le 15 août et le 17 août. S'il connait la date, c'est que Cheryl lui a dit juillet. Si elle lui avait dit août, il n'aurait pas pu en déduire la date avec certitude.

La réponse est donc le 16 juillet.

Solution incorrecte Après que la question est devenue virale, certaines personnes ont suggéré le comme réponse alternative. Cette réponse a été rejetée comme invalide par les Olympiades de mathématiques scolaires de Singapour et d'Asie.

Les solutions qui aboutissent à cette réponse ne tiennent pas compte de la dernière partie de :Albert : Je ne sais pas quand est l'anniversaire de Cheryl, mais je sais que Bernard ne le sait pas non plus.qui informe Bernard sur ce qui a permis à Albert de déduire cela. Ce dernier n'aurait connu cette date que si elle avait été unique, le 18 ou le 19. Albert en déduit donc que Bernard ne la connaît pas car il a entendu un mois qui ne contient pas ces dates (juillet ou août). Fort de cette constatation, Bernard peut exclure mai et juin, ce qui lui permet de trouver une date unique même si on lui donne le 15 ou le 16, et non pas seulement le 17.

Les organisateurs de SASMO ont signaléHenry Ong, , SASMO's Reply to Queries Why Cheryl's birthday is not Aug 17 que le serait la solution si le dialogue commençait par Bernard disant qu'il ne connaissait pas l'anniversaire de Cheryl :Bernard : Je ne sais pas quand est l'anniversaire de Cheryl. Albert : Je ne connais toujours pas la date de l'anniversaire de Cheryl. Bernard : Au début, je ne savais pas quand était l'anniversaire de Cheryl, mais maintenant je le sais. Albert : Alors je connais aussi la date de l'anniversaire de Cheryl.Ce serait également la bonne réponse si la première déclaration était faite par Cheryl :Cheryl : Bernard ne sait pas quand est mon anniversaire. Albert : Je ne sais pas non plus quand est l'anniversaire de Cheryl. Bernard : Au début, je ne savais pas quand était l'anniversaire de Cheryl, mais maintenant je le sais. Albert : Alors je sais aussi quand est l'anniversaire de Cheryl.Remarque : Les dernières phrases d'Albert dans les deux exemples alternatifs ne sont là que pour compléter le dialogue ; elles ne sont pas nécessaires au lecteur pour déterminer que la date de l'anniversaire de Cheryl est le .

Suite Le , l'université technologique de Nanyang a publié sur Facebook une deuxième partie de sa réponse à la question, intitulée « L'âge de Cheryl ». La voici :Albert et Bernard veulent maintenant savoir quel âge a Cheryl. Cheryl : J’ai deux frères cadets. Le produit de nos âges (c’est-à-dire mon âge et les âges de mes deux frères) est de 144, en supposant que nous utilisions des nombres entiers pour nos âges. Albert : Nous ne connaissons toujours pas votre âge. Quels autres indices pouvez-vous nous donner ? Cheryl : La somme de nos âges correspond au numéro du bus dans lequel nous sommes. Bernard : Bien sûr, nous connaissons le numéro du bus, mais nous ne connaissons toujours pas votre âge. Cheryl : Oh, j'ai oublié de vous dire que mes frères ont le même âge. Albert et Bernard : Ah, maintenant nous connaissons votre âge.Quel est donc l'âge de Cheryl ?

Notez que cette suite est une légère variante d'un autre problème, présenté précédemment par Martin Gardner.

Solution de la suite

D'après le théorème fondamental de l'arithmétique, 144 peut être décomposé en facteurs premiers ( ). On examine alors tous les âges possibles de Cheryl et de ses deux frères (par exemple, 16, 9, 1, ou bien 8, 6, 3, etc.). On peut ensuite calculer la somme de ces âges. Comme Bernard (qui connaît le numéro du bus) ne parvient pas à déterminer l'âge de Cheryl malgré cette somme, ce doit être une somme qui n'est pas unique parmi les solutions possibles. En examinant tous les âges possibles, on constate qu'il n'existe que deux paires d'ensembles d'âges possibles dont la somme est identique : 9, 4, 4 et 8, 6, 3, soit 17, et 12, 4, 3 et 9, 8, 2, soit 19. Cheryl affirme ensuite que ses frères ont le même âge, ce qui élimine les trois dernières possibilités et ne laisse que 9, 4, 4. On peut donc en déduire que Cheryl a et ses frères ont , et que le bus dans lequel ils se trouvent porte le numéro 17.

Deuxième suite : « La revanche de Denise » Le , le mathématicien Alex Bellos a publié une suite à l'énigme, intitulée « La revanche de Denise », dans sa chronique « L'énigme du lundi d'Alex Bellos » du Guardian. Cette suite a également été écrite par le Yeo, l'auteur de la version initiale de « L'anniversaire de Cheryl ». La suite met en scène un nouveau personnage, Denise, dont les trois personnages originaux tentent de déterminer la date de naissance. L'énigme est formulée ainsi :Albert, Bernard et Cheryl se sont liés d'amitié avec Denise et voulaient connaître sa date de naissance. Denise leur a donné une liste de 20 dates possibles.

17 février 2001, 16 mars 2002, 13 janvier 2003, 19 janvier 2004 13 mars 2001, 15 avril 2002, 16 février 2003, 18 février 2004 13 avril 2001, 14 mai 2002, 14 mars 2003, 19 mai 2004 15 mai 2001, 12 juin 2002, 11 avril 2003, 14 juillet 2004 17 juin 2001, 16 août 2002, 16 juillet 2003, 18 août 2004

Denise a ensuite indiqué séparément à Albert, Bernard et Cheryl le mois, le jour et l'année de sa naissance. La conversation suivante s'ensuit :

Albert : Je ne connais pas la date de naissance de Denise, mais je sais que Bernard ne la connait pas non plus.Bernard : Je ne sais toujours pas quand est née Denise, mais je sais que Cheryl ne le sait pas non plus.Cheryl : Je ne connais toujours pas la date de naissance de Denise, mais je sais qu'Albert ne la connait pas non plus.Albert : Maintenant je sais quand est née Denise.Bernard : Maintenant, je le sais aussi.Cheryl : Moi aussi. Alors, quand est donc née Denise ?Le lendemain, Bellos publia la solution de « La revanche de Denise », qui se résout de la même manière que « L'anniversaire de Cheryl », par éliminations successives. La solution correcte est le .

Le , une autre suite a été publiée dans The Guardian sous le titre « Le problème du numéro de la maison de Cheryl ».

Voir aussi

Casse-tête de la somme et du produit

Références

Catégorie:Problème mathématique Catégorie:Pages avec des traductions non relues