En analyse mathématique, le théorème des accroissements finis pour les différences divisées généralise le théorème des accroissements finis aux dérivées d'ordre supérieur .
Énoncé du théorème Soient un entier , des réels , et une fonction de classe sur possédant une dérivée n-ième sur ;
alors il existe où la dérivée n-ième de est égale à fois la n-ième différence divisée en ces points :
Pour on obtient le théorème des accroissements finis classique.
Démonstration Soit soit le polynôme d'interpolation de Lagrange de pour . Il découle alors de la forme de Newton de que le terme d'ordre le plus élevé de est .
Soit soit le reste de l'interpolation, défini par . Alors possède zéros : . En appliquant d'abord le théorème de Rolle à , puis à et ainsi de suite jusqu'à , nous constatons que a un zéro . Cela signifie que
, soit :
Applications Ce théorème est utilisé pour généraliser la moyenne de Stolarsky à plus de deux variables.
Références
Catégorie:Analyse réelle Catégorie:Théorème d'analyse