vignette|Papillon de nuit, figure fractale Le papillon de nuit est un triangle équilatéral fractal dont les côtés sont remplacés par la courbe des lépidoptères, une variante de la courbe de Koch. Il possède des propriétés similaires à celles du siamois, un losange fractal basé sur la courbe de Koch, et peut donc être décomposé en une infinité de copies de lui-même. Cette figure a été découverte par Giorgio Pietrocola en et publiée dans plusieurs revues mathématiques italiennes.

Algorithme L'algorithme utilisé pour créer la courbe des lépidoptères est similaire à celui utilisé pour la courbe de Koch. Pour mettre cela en évidence, on utilise un algorithme qui converge plus lentement que celui normalement utilisé pour obtenir la courbe de Koch. Pour les deux courbes, on commence par un segment que l'on remplace par deux segments angulaires qui, ensemble, formeraient un triangle isocèle avec des angles de 30, 120 et 30 degrés. La même transformation est ensuite appliquée aux segments, qui croissent à chaque étape comme des puissances de deux. La différence entre les courbes réside dans l'alternance différente à droite ou à gauche des substitutions effectuées sur les segments, comme le montre la figure.

thumb|440 px|left|Comparaison entre les algorithmes générant la courbe de Koch, la Courbe de terdragon et la courbe des lépidoptères dont provient également le papillon de nuit. Dans les deux dernières cases de chaque ligne, la courbe obtenue est répétée des deux côtés selon les deux possibilités, ce qui donne une colonne de siamois dans la première ligne et une colonne de papillons de nuit dans la dernière ligne. gauche|vignette|440x440px|Papillon de nuit gravide, irrégulier reptuile d'ordre infini dessiné par la tortue du FMSLogo

Programme FMSLogo to falena :lato :liv right 180 make "nstop int (0.5+(power 2 :liv-1)*4/3)+2 make "mem pos make "hh heading hideturtle penup forward :lato/2 back :lato/2 pendown make "conta 0 make "mem pos make "hh heading falenarico :lato*3 :liv 1 1 penup setpos :mem setheading :hh pendown make "conta 0 make "mem pos make "hh heading falenarico :lato*3 :liv 1 -1 penup setpos :mem setheading :hh pendown showturtle right 180 end

to falenarico :x :l :s :t localmake "x :x/sqrt 3 if :l=0 [make "conta :conta+1 if :conta>=:nstop [ stop] forward :x stop ] left 30*:s*:t falenarico :x :l-1 -1 -:t right 60*:s*:t falenarico :x :l-1 1 -:t left 30*:s*:t end La procédure « falenarico » est utilisée par la procédure « falena ». Après les avoir copiées et enregistrées dans l'éditeur de FMSLogo, vous pouvez entrer « falena 200 10 » dans la ligne de commande pour obtenir un papillon de nuit de la taille et du niveau d'itération spécifiés. Des procédures supplémentaires telles que « falenarep » pour obtenir un papillon de nuit réplicatif comme indiqué dans la figure sont disponibles dans l'article en ligne.

Comparaison entre le papillon de nuit et le siamois vignette|440x440px|Comparaison entre le papillon de nuit et le siamois. Les anti-figures sont représentées en rouge. Les polygones fractals de référence sont mis en évidence. Alors que les polygones siamois et anti-siamois sont obtenus en remplaçant les côtés d'un losange par des courbes de Koch, le papillon est obtenu en remplaçant les côtés d'un triangle équilatéral par des courbes lépidoptères tournées vers l'extérieur. Si elles sont tournées vers l'intérieur, on obtient un anti-papillon (voir figure). Les périmètres de ces polygones fractals sont tous infinis. Alors que la surface du siamois augmente de 40 % par rapport à son losange de référence, celle du papillon augmente de 75 % par rapport à son triangle. Les anti-figures diminuent dans les mêmes proportions. Le siamois et le papillon, ainsi que leurs anti-figures, se décomposent en une infinité de copies identiques à elles-mêmes

Pavage du plan avec des figures fractales similaires La phalène et le siamois se prêtent tous deux à une grande variété de pavage du plan.

Références

Bibliographie en ligne

Voir aussi Terpapillon

Liens externes

Catégorie:Fractale