La loi de Birnbaum-Saunders, également appelée loi de fatigue, est une loi de probabilité continue utilisée en fiabilité pour modéliser les temps de défaillance. Plusieurs formulations alternatives de cette loi sont décrites dans la littérature. Elle porte le nom de Z.W. Birnbaum et S.C. Saunders.
Théorie Cette loi a été développée pour modéliser les ruptures dues aux fissures. Un matériau est soumis à des cycles de contrainte répétés. Le jème cycle entraîne une augmentation de la fissure d'une valeur Xj. La somme des Xj suit par hypothèse une loi normale de moyenne nμ et de variance nσ. La probabilité que la fissure ne dépasse pas une longueur critique ω est
où est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.
Si T représente le nombre de cycles avant défaillance, alors la fonction de répartition de T est
La forme la plus courante de cette loi est :
Ici, α est le paramètre de forme et β est le paramètre d'échelle.
Propriétés La loi de Birnbaum-Saunders est unimodale avec une médiane égale à β.
La moyenne (μ), la variance (σ), l'asymétrie (γ) et l'aplatissement (κ) sont données par :
Étant donné un ensemble de données que l'on suppose suivre la loi de Birnbaum-Saunders, les valeurs des paramètres sont mieux estimées par la méthode du maximum de vraisemblance.
Si T suit une loi de Birnbaum-Saunders avec les paramètres α et β, alors T−1 suit une loi de Birnbaum-Saunders avec les paramètres α et β−1.
Transformation Soit T une variable aléatoire suivant une loi de Birnbaum-Saunders de paramètres α et β. Une transformation utile de T est .
De manière équivalente .
X suit alors une loi normale centrée de variance égale à α2/4.
Densité de probabilité La formule générale de la fonction de densité de probabilité est
où γ est le paramètre de forme, μ est le paramètre de position, β est le paramètre d'échelle, et est la fonction de densité de probabilité de la loi normale centrée réduite.
Loi standard de la fatigue Le cas où et est appelé loi de fatigue standard. La fonction de densité de probabilité de la loi de fatigue standard se réduit à :
Étant donné que la forme générale des fonctions de probabilité peut être exprimée en fonction des fonctions de la loi standard, toutes les formules suivantes sont données pour la forme standard de la fonction.
Fonction de répartition La formule de la fonction de répartition est
où est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.
Fonction quantile La formule de la fonction quantile est
où est la fonction quantile de la loi normale centrée réduite.
Relation avec la loi normale inverse On peut démontrer que la loi de Birnbaum-Saunders résulte d'un mélange entre une loi inverse-gaussienne et une loi inverse-gausienne réciproque.
Cette propriété peut être conceptualisée en considérant le processus de Wiener avec dérive : le premier temps d’atteinte d’un point suivra une loi inverse-gaussienne, le dernier temps d’atteinte de ce point suivra une loi inverse-gaussienne réciproque, et la loi de Birnbaum-Saunders représenterait la probabilité que le processus soit au-delà du point, quel que soit le nombre de fois où il a dépassé ou dépassera le point.
Références
Liens externes Fatigue life distribution
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