Le théorème de Cameron–Martin est un résultat de la théorie des probabilités décrivant la quasi-invariance des mesures gaussiennes par translation selon les directions de l’espace des directions de dérivation au sens du calcul de Malliavin.
Formulation Soit un espace de Hilbert continûment et injectivement plongé dans un espace localement convexe , via une application . Par le théorème de Fréchet–Riesz, on identifie via l’isomorphisme de Riesz . Pour , on définit la restriction . Comme , on peut définir l’application adjointe par , qui est également continue. La composition est une application , appelée opérateur reproduisant, car elle satisfait la propriété .
L’opérateur est symétrique et positif, et il induit un noyau reproduisant sur définie par . L’opérateur de covariance associé au mesure gaussienne est défini par
Pour , on définit
L’espace de Cameron-Martin est . On définit
et où ce quotient est canoniquement identifié à l’adhérence dans des variables centrées. On prolonge l’opérateur de covariance en défini par .
Alors si et seulement s’il existe tel que , et dans ce cas .
Énoncé du théorème Le théorème de Cameron-Martin s’énonce comme suit :
Références
Catégorie:Théorème de la théorie des probabilités